1. Terlampir

2. Hitung Luas D

Persamaan x = 4y - y^2 merupakan persamaan parabola yang memiliki bentuk y = ax^2 + bx + c, dengan a, b, dan c adalah koefisien parabola yang dapat dihitung dengan menyusun kembali persamaan tersebut menjadi bentuk y = ax^2 + bx + c.

Setelah disusun kembali, persamaan x = 4y - y^2 akan menjadi y = (-1/4)x^2 + x. Sedangkan persamaan x + y = 4 dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga diperoleh x = 4 - y.

Setelah kedua persamaan tersebut diselesaikan, kita dapat mencari titik-titik potong antara kedua kurva tersebut dengan menyamakan nilai x pada kedua persamaan tersebut. Dengan demikian, kita dapat menemukan titik-titik potong sebagai berikut:

x = 4 - y = (-1/4)x^2 + x

x = 4 - y = x - y

y = 3 - x

Kemudian, kita dapat menyelesaikan persamaan y = 3 - x untuk mencari nilai-nilai x dan y pada titik-titik potong tersebut. Dengan demikian, kita dapat menemukan titik-titik potong antara kedua kurva tersebut sebagai berikut:

x = 0, y = 3

3. Hitung isi D jika D diputar sumbu x

V = ∫[c,d] π[f(x)]^2 dx

Di mana:

V adalah isi daerah yang dihasilkan setelah diputar sumbu x

c dan d adalah batas kiri dan batas kanan dari daerah D

f(x) adalah fungsi yang menggambarkan daerah D

Untuk menentukan batas kiri dan batas kanan dari daerah D, pertama-tama kita perlu menentukan nilai x yang memenuhi kondisi x= 4y-y^2 dan x+y =4. Nilai x yang memenuhi kondisi tersebut adalah x=0 dan x=4.

Setelah batas kiri dan batas kanan dari daerah D ditentukan, selanjutnya kita dapat mencari fungsi f(x) dengan mengganti nilai x ke dalam persamaan y= (x+2)/4. Fungsi f(x) adalah sebagai berikut:

f(x) = √((x+2)/4)

Setelah fungsi f(x) ditentukan, selanjutnya kita dapat menggunakan rumus integral tentang sumbu x untuk menghitung isi daerah D setelah diputar sumbu x:

V = ∫[0,4] π[f(x)]^2 dx

= ∫[0,4] π[√((x+2)/4)]^2 dx

Dengan menggunakan teorema Fundamental Integral, kita dapat menyelesaikan integral tersebut dan menghitung isi daerah D setelah diputar sumbu x:

V = [π/5 ((x+2)/4)^(5/2)]|[0,4]

= [π/5 ((4+2)/4)^(5/2) - π/5 ((0+2)/4)^(5/2)]

= [π/5 (6/4)^(5/2) - π/5 (2/4)^(5/2)]

= [π/5 (3/2)^(5/2) - π/5 (1/2)^(5/2)]

= [π/5 (9/4) - π/5 (1/4)]

= [9π/20 - π/20]

= 8π/20

= 2π

Jadi, isi daerah D setelah diputar sumbu x adalah 2π.

4. Hitung isi D jika D diputar sumbu Y

V = ∫[a,b] π[f(y)]^2 dy

Di mana:

V adalah isi daerah yang dihasilkan setelah diputar sumbu Y

a dan b adalah batas atas dan batas bawah dari daerah D

f(y) adalah fungsi yang menggambarkan daerah D

Untuk menentukan batas atas dan batas bawah dari daerah D, pertama-tama kita perlu menentukan nilai y yang memenuhi kondisi x= 4y-y^2 dan x+y =4. Nilai y yang memenuhi kondisi tersebut adalah y=1 dan y=3.

Setelah batas atas dan batas bawah dari daerah D ditentukan, selanjutnya kita dapat mencari fungsi f(y) dengan mengganti nilai y ke dalam persamaan x= 4y-y^2. Fungsi f(y) adalah sebagai berikut:

f(y) = √(4y-y^2)

Setelah fungsi f(y) ditentukan, selanjutnya kita dapat menggunakan rumus integral tentang sumbu Y untuk menghitung isi daerah D setelah diputar sumbu Y:

V = ∫[1,3] π[f(y)]^2 dy

= ∫[1,3] π[√(4y-y^2)]^2 dy

Dengan menggunakan teorema Fundamental Integral, kita dapat menyelesaikan integral tersebut dan menghitung isi daerah D setelah diputar sumbu Y:

V = [π/5 (4y-y^2)^(5/2)]|[1,3]

= [π/5 (4(3)-(3)^2)^(5/2) - π/5 (4(1)-(1)^2)^(5/2)]

= [π/5 (12-9)^(5/2) - π/5 (4-1)^(5/2)]

= [π/5 (3)^(5/2) - π/5 (3)^(5/2)]

= 0

Jadi, isi daerah D setelah diputar sumbu Y adalah 0.