1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tolong kak no 7terimakasih...​

Berikut ini adalah pertanyaan dari Fadillaputra2006 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong kak no 7
terimakasih...​
Tolong kak no 7terimakasih...​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika diketahui persamaan garis g\equiv x+y-2=0dan lingkaranL\equiv x^2+y^2-4x+2y-4=0, maka:

  • Garis g memotonglingkaranL.
  • Koordinat titik potong garis gterhadap lingkaranL adalah:
    \begin{aligned}&\bf\left(\frac{5+\sqrt{17}}{2},\ -\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\\&\quad\sf dan\\&\bf\left(\frac{5-\sqrt{17}}{2},\ \frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)\\\end{aligned}

 

Penjelasan

Kedudukan Garis dan Titik Potongnya Terhadap Lingkaran

Untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran, kita bisa menggunakan beberapa alternatif cara. Salah satunya adalah dengan mengubah persamaan lingkaran menjadi persamaan kuadrat, dan selidiki nilai diskriminannya.

Pengubahan persamaan lingkaran menjadi persamaan kuadrat dilakukan dengan substitusi xatauy dari persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran.

Untuk garis g:

\begin{aligned}g&\equiv x+y-2=0\\&\equiv y=-x+2\quad...(i)\end{aligned}

Substitusi y dari persamaan (i) ke dalam persamaan lingkaran L.

\begin{aligned}L&\equiv x^2+y^2-4x+2y-4=0\\(i)\to L&\equiv x^2+(-x+2)^2-4x+2(-x+2)-4=0\\&\equiv x^2+x^2-4x+4-4x-2x+4-4=0\\&\equiv 2x^2-10x+4=0\quad...(ii)\end{aligned}

Kemudian, selidiki nilai diskriminannya.

\begin{aligned}D&=b^2-4ac\\&\quad(a=2,\ b=-10,\ c=4)\\D&=(-10)^2-4\cdot2\cdot4\\&=100-32\\&=68\ > \ 0\\\Rightarrow D& > 0\end{aligned}

Pada persamaan kuadrat, D > 0 berarti persamaan kuadrat tersebut memiliki 2 akar real yang berbeda. Karena persamaan kuadrat di atas terbentuk dari substitusi persamaan garis gke dalam persamaan lingkaranL, maka terdapat 2 titik potonggarisgterhadap lingkaranL.

Oleh karena itu, garis g memotonglingkaranL.

Kemudian, untuk menentukan kedua titik potongnya, kita bisa gunakan persamaan (ii) dan persamaan (i),

Untuk absis titik potong, gunakan persamaan (ii).

\begin{aligned}2x^2-10x+4&=0\\x^2-5x+2&=0\\x^2-5x&=-2\\x^2-5x+\frac{25}{4}&=-2+\frac{25}{4}\\\left(x-\frac{5}{2}\right)^2&=\frac{17}{4}\\x-\frac{5}{2}&=\pm\sqrt{\frac{17}{4}}=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\\x&=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}\\\Rightarrow x_1&=\frac{5+\sqrt{17}}{2},\ x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\end{aligned}

Untuk ordinat titik potong, substitusi nilai x ke dalam persamaan (i).

\begin{aligned}y&=-x+2\\&=-\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}+2\\&\quad\textsf{Perhatikan perubahan tanda.}\\&=\frac{-5\mp\sqrt{17}}{2}+2\\&=\frac{-5\mp\sqrt{17}+4}{2}\\&=\frac{-1\mp\sqrt{17}}{2}\\y_1&=\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ y_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\y_1&=-\frac{1+\sqrt{17}}{2},\ y_2=\frac{\sqrt{17}-1}{2}\end{aligned}

Jadi, titik potong garis gterhadap lingkaranL adalah:

\begin{aligned}&\bf\left(\frac{5+\sqrt{17}}{2},\ -\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\\&\quad\sf dan\\&\bf\left(\frac{5-\sqrt{17}}{2},\ \frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)\\\end{aligned}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 27 May 23
<< Previous Post
Next Post >>