Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran, pertama-tama kita perlu menyelesaikan persamaan lingkaran dengan melengkapi kuadrat sempurna pada variabel x dan y. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

x² + y² + kx - 6y + 8 = 0 (persamaan lingkaran)

x² + kx + y² - 6y = -8 (memindahkan konstanta ke sebelah kanan)

(x² + kx + ?) + (y² - 6y + ?) = -8 + ? + ? (melengkapi kuadrat sempurna)

(x + 0,5k)² + (y - 3)² = k² + 17

Karena lingkaran tersebut melalui titik (-4, 0), maka koordinat tersebut harus memenuhi persamaan lingkaran tersebut:

(-4 + 0,5k)² + (0 - 3)² = k² + 17

16 - 4k + 0,25k² + 9 = k² + 17

0,25k² - 4k - 8 = 0

k² - 16k - 32 = 0

(k - 8 - 4√3)(k - 8 + 4√3) = 0

Karena k merupakan koordinat titik potong sumbu x pada lingkaran, maka k harus bernilai k = 8 - 4√3 (karena k harus lebih kecil dari 8 untuk membentuk lingkaran yang melalui titik (-4,0)). Dengan demikian, persamaan lingkaran menjadi:

(x + 2√3)² + (y - 3)² = (8 - 4√3)² + 17

Panjang jari-jari lingkaran adalah akar dari koefisien persamaan kuadrat pada variabel x dan y, sehingga:

r = √(8 - 4√3)

Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh nilai r ≈ 1,172 satuan. Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah sekitar 1,172 satuan.