Penjelasan dengan langkah-langkah:

Garis singgung lingkaran.

Rully Reynaldi

Find an equation of the line which is tangent to the circle x²+y²-4x+6y-12=0 at the point (5,1). (Ans:3x+4y-19=0)

8. Find an equation of each of the two lines having slope which are tangent to the circle x²+y²+2x-8y-8 =0.

9. Given the line y=mx + b tangent to the circle x²+y²=r², find an equati on involving m, b,and r.

Jawab dengan bahasa Indonesia.

Untuk mencari persamaan garis yang menyinggung lingkaran pada titik (5,1), kita perlu menemukan dulu gradien garis singgung pada titik tersebut. Caranya adalah dengan menghitung turunan dari persamaan lingkaran:

x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0

Maka turunan dari persamaan lingkaran adalah:

2x + 2y dy/dx - 4 + 6 dy/dx = 0

dy/dx = (4 - 2x)/(2y - 6)

Kita tahu bahwa garis singgung memiliki gradien yang sama dengan turunan pada titik singgung. Sehingga gradien pada titik (5,1) adalah:

dy/dx = (4 - 2(5))/(2(1) - 6) = -3/2

Kita juga tahu bahwa garis singgung pada titik tertentu harus melalui titik tersebut. Sehingga kita dapat menggunakan persamaan titik-garis untuk mencari persamaan garis yang kita cari:

y - 1 = (-3/2)(x - 5)

3x + 4y - 19 = 0

Jadi, persamaan garis yang menyinggung lingkaran pada titik (5,1) adalah 3x + 4y - 19 = 0.

Untuk mencari persamaan garis-garis yang memiliki gradien yang menyinggung lingkaran, kita perlu menemukan dulu persamaan umum lingkaran dengan mengisi nilai r² dan menyelesaikan persamaannya:

x² + y² + 2x - 8y - 8 = 0

(x + 1)² - 1 + (y - 4)² - 16 - 8 = 0

(x + 1)² + (y - 4)² = 25

Kita tahu bahwa gradien pada titik singgung sama dengan turunan dari persamaan lingkaran pada titik tersebut. Sehingga kita dapat mencari gradien pada titik (x,y) menggunakan turunan:

dy/dx = -x/(y + 4)

Gradien singgung di titik (x,y) adalah ±√(25 - (x + 1)²)/(y - 4). Agar gradien singgung terdefinisi dengan baik, haruslah 25 - (x + 1)² > 0 dan y ≠ 4.

Dalam hal ini, kita akan menggunakan fakta bahwa dua garis dengan gradien yang sama tapi berlawanan arah (positif dan negatif) akan menyinggung lingkaran di dua titik yang berbeda. Oleh karena itu, kita dapat mencari persamaan dua garis singgung dengan gradien yang sama pada titik singgung (x,y) dan menggunakan gradien positif dan negatif.

Persamaan dua garis singgung adalah:

y - y₀ = ±√(25 - (x₀ + 1)²)/(y₀ - 4) (x - x₀)

y - y₀ = ±(x - x₀)√(25 - (x₀ + 1)²)/(y₀ - 4)

Di sini, (x₀, y₀) adalah titik singgung