Jawaban:

Untuk mencari keuntungan maksimum perusahaan, kita perlu menghitung pendapatan dan biaya, lalu menguranginya untuk mendapatkan keuntungan.

Pendapatan dinyatakan oleh fungsi H(x) = 50 - 1/2x,dan biaya dinyatakan oleh fungsip(x) = 1/4x² + 20x + 30.

Pendapatan diperoleh dari harga per unit dikali jumlah unit yang diproduksi, sehingga:

H(x) * x = (50 - 1/2x) * x

H(x) * x = (50 - 1/2x) * x= 50x - 1/2x²

Biaya produksi dinyatakan oleh p(x) = 1/4x² + 20x + 30.

Dengan demikian, keuntungan dinyatakan oleh:

K(x) = H(x) * x - p(x)

K(x) = H(x) * x - p(x)= (50x - 1/2x²) - (1/4x² + 20x + 30)

K(x) = H(x) * x - p(x)= (50x - 1/2x²) - (1/4x² + 20x + 30)= -1/2x² + 30x - 30

Untuk mencari keuntungan maksimum, kita dapat mencari turunan pertama fungsi keuntungan dan menyelesaikannya untuk x:

K'(x) = -x + 30

K'(x) = 0 ketika x = 30

Untuk memastikan bahwa ini adalah maksimum, kita dapat menggunakan turunan kedua:

K''(x) = -1

K''(30) = -1, sehingga x = 30 adalah titik maksimum untuk fungsi keuntungan.

Dengan mengganti nilai x = 30 ke dalam persamaan K(x), kita dapat menghitung keuntungan maksimum:

K(30) = -1/2(30)² + 30(30) - 30

K(30) = -1/2(30)² + 30(30) - 30= 450

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan tersebut perhari adalah 450 ribu rupiah.