1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis ⁽¹⁶¹⁾ Diketahui [tex]\sf 5^a=3^{a^2-2a+2}[/tex] Jika eᵇ = 15, maka nilai dari ln3 dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis ⁽¹⁶¹⁾Diketahui

\sf 5^a=3^{a^2-2a+2}

Jika eᵇ = 15, maka nilai dari
ln3 dan ln5 dalam bentuk a
dan b berturut-turut adalah . . .

\displaystyle\rm(A.)~~\pm\frac{ab}{b^2-b+2}~~\left\{b\ne0,~~b\ne\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\right\}\\\\\sf dan\rm~~\frac{(2-2b+b^2)a}{b^2-b+2}~~\left\{b\ne1\pm i,~~b\ne\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\right\}

\displaystyle\rm(B.)~~\pm\frac{ab}{b^2-b+2}~~\left\{b\ne0,~~b\ne\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\right\}\\\\\sf dan\rm~~\frac{(2-b+b^2)a}{b^2-2b+2}~~\left\{b\ne1\pm i\right\}

\displaystyle\rm(C.)~~\pm\frac{ab}{a^2-a+2}~~\left\{a\ne0,~~a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\right\}\\\\\sf dan\rm~~\frac{(2-a+a^2)b}{a^2-2a+2}~~\left\{a\ne1\pm i\right\}

\displaystyle\rm(D.)~~\pm\frac{ab}{a^2-a+2}~~\left\{a\ne0,~~a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\right\}\\\\\sf dan\rm~~\frac{(2-2a+a^2)b}{a^2-a+2}~~\left\{a\ne1\pm i,~~a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}\right\}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai ln(3)danln(5)dalam bentukadanb berturut-turut adalah:
\boxed{\,\begin{aligned}&\left|\frac{ab}{a^2-a+2}\right|\ \ \left\{a\ne0\,,\ a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\right\}\\&\quad\textsf{--- dan ---}\\&\frac{\left(2-2a+a^2\right)b}{a^2-a+2}\ \ \left\{a\ne1\pm i\,,\ a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\right\}\end{aligned}\,}
(serupa dengan opsi D, namun untuk ln(3) menggunakan nilai mutlak.)
 

Penjelasan

Eksponen dan Logaritma

Nilai ln(3)

\begin{aligned}5^a&=3^{a^2-2a+2}\\&=3^{a^2-a+2}\cdot3^{-a}\\3^{a}5^a&=3^{a^2-a+2}\\15^a&=3^{a^2-a+2}\\&\quad\rightarrow \left[\ e^b=15\ \right]\\e^{ab}&=3^{a^2-a+2}\\ab\ln(e)&=\left(a^2-a+2\right)\ln(3)\\&\quad\rightarrow \left[\ \ln(e)=1\ \right]\\ab&=\left(a^2-a+2\right)\ln(3)\\\ln(3)&=\frac{ab}{a^2-a+2}\ \ \left\{a^2-a+2\ne0\right\}\end{aligned}

Untuk a^2-a+2\ne0:

\begin{aligned}a^2-a&\ne-2\\a^2-a+\frac{1}{2}&\ne-2+\frac{1}{4}\\\left(a-\frac{1}{2}\right)^2&\ne\frac{-7}{4}\\a-\frac{1}{2}&\ne\pm\sqrt{\frac{-7}{4}}\\a&\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\end{aligned}

Kemudian, dari bentuk persamaan awal, jelas bahwa a \ne 0, karena 0 bukan akar dari a^2-2a+2.

Maka:

\begin{aligned}\ln(3)&=\frac{ab}{a^2-a+2}\ \ \left\{a\ne0\,,\ a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\right\}\end{aligned}
(Bentuk ini belum final. Nanti kita telusuri apakah perlu tanda "±", atau memerlukan penanda yang lain.)

Nilai ln(5)

\begin{aligned}5^a&=3^{a^2-2a+2}\\a\ln(5)&=\left(a^2-2a+2\right)\ln(3)\\\ln(5)&=\frac{a^2-2a+2}{a}\cdot\ln(3)\\&=\frac{a^2-2a+2}{\cancel{a}}\cdot\left(\frac{\cancel{a}b}{a^2-a+2}\right)\\&=\frac{\left(a^2-2a+2\right)b}{a^2-a+2}\\&=\frac{\left(2-2a+a^2\right)b}{a^2-a+2}\,,\ \ \left\{2-2a+a^2\ne0\,,\ a^2-a+2\ne0\right\}\\&=\frac{\left(2-2a+a^2\right)b}{a^2-a+2}\,,\ \ \left\{2-2a+a^2\ne0\,,\ a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\right\}\end{aligned}

Untuk 2-2a+a^2\ne0:

\begin{aligned}a^2-2a&\ne-2\\a^2-2a+1&\ne-2+1\\\left(a-1\right)^2&\ne-1\\a-1&\ne\pm\sqrt{-1}\\a&\ne1\pm i\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}\ln(5)&=\frac{\left(2-2a+a^2\right)b}{a^2-a+2}\,,\ \ \left\{a\ne1\pm i\,,\ a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\right\}\end{aligned}

Merujuk opsi jawaban yang diberikan, nilai ln(3)danln(5)yang telah diperoleh di atas sekilas serupa denganopsi D. Coba kita observasi apakah benar “±” diperlukan, atau malah memerlukan “penanda” yang lain.

DIketahui e^b=15, maka:
b=\ln(15) > 0.

Jadi, badalahkonstanta positif.

Sedangan nilai ln(3):

\begin{aligned}\ln(3)&=\frac{ab}{a^2-a+2}\end{aligned}

Kita tahu bahwa nilai \ln(3) positif.

Nilai diskriminan dari f_1(a)=a^2-a+2 adalah:

\begin{aligned}D&=B^2-4AC\\&=1-8=-7\end{aligned}

D < 0danA > 0, maka f_1(a) definit positif, sehingga untuk semua nilai a yang memenuhi (positif atau negatif), a^2-a+2 selalu bernilai positif.

Jika kita menggunakan tanda “±“, maka kemungkinannya adalah:

\begin{aligned}\ln(3)&=\pm\,\frac{ab}{a^2-a+2}\\&=\pm\,\frac{a\cdot(+)}{(+)}\\\ln(3)&=\begin{cases}(+),&{\sf jika\ }a > 0\ \textsf{dan tandanya "\!+"}\\(-),&{\sf jika\ }a > 0\ \textsf{dan tandanya "\!--"}\\(-),&{\sf jika\ }a < 0\ \textsf{dan tandanya "\!+"}\\(+),&{\sf jika\ }a < 0\ \textsf{dan tandanya "\!--"}\\\end{cases}\end{aligned}

Kasus kedua dan ketiga tidak berlaku, namun untuk keempat kasus tersebut, nilai pada ruas kanan memiliki nilai mutlak yang sama.

Jadi, kita memerlukan tanda nilai mutlak pada ruas kanan, yaitu:

\boxed{\,\ln(3)=\left|\frac{ab}{a^2-a+2}\right|\ \ \left\{a\ne0\,,\ a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\right\}\,}

Untuk nilai ln(5):

\begin{aligned}\ln(5)&=\frac{\left(2-2a+a^2\right)b}{a^2-a+2}\\&=\frac{\left(2-2a+a^2\right)(+)}{(+)}\end{aligned}

Kita tahu bahwa nilai \ln(5) positif.

Diskriminan dari f_2(a) = 2-2a+a^2 adalah:

\begin{aligned}D&=B^2-4AC\\&=4-8=-4\end{aligned}

D < 0danA > 0, maka f_2(a) definit positif, sehingga untuk semua nilai a yang memenuhi, 2-2a+a^2 selalu bernilai positif.

Oleh karena itu, untuk nilai \ln(5), tidak perlu tanda nilai mutlak.

Jadi:

\boxed{\,\ln(5)=\frac{\left(2-2a+a^2\right)b}{a^2-a+2}\ \ \left\{a\ne1\pm i\,,\ a\ne\frac{1\pm\sqrt{7}\,i}{2}\right\}\,}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 02 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>