1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Induksi MatematikaBuktikan 4 + 5 + 6 + 7 +

Berikut ini adalah pertanyaan dari zuradao pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Induksi Matematika

Buktikan 4 + 5 + 6 + 7 + ⋯ + (n + 3) =n(n+7)/2 , ≥ 1
Induksi MatematikaBuktikan 4 + 5 + 6 + 7 + ⋯ + (n + 3) =n(n+7)/2 , ≥ 1

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

4+5+6+7+{\dots}+(n+3)=\dfrac{n(n+7)}{2}\,,\ n \ge 1
TERBUKTImelalui pembuktian denganinduksi matematika.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persamaan yang akan dibuktikan dengan induksi matematika adalah

\begin{aligned}P(n):\ 4+5+6+7+{\dots}+(n+3)=\frac{n(n+7)}{2}\,,\ n \ge 1\end{aligned}

Basis Induksi

Untuk n = 1,
\begin{aligned}P(1):\ 4=\frac{1(1+7)}{2}=\frac{8}{2}\end{aligned}
merupakan pernyataan yang benar.

Asumsi/Hipotesis
Andaikan P(n)benar untukn=k, yaitu
\begin{aligned}P(k):\ 4+5+6+7+{\dots}+(k+3)=\frac{k(k+7)}{2}\end{aligned}
maka perlu ditunjukkan/dibuktikan bahwa P(n)benar pula untukn=k+1, yaitu
\begin{aligned}P(k+1):\ 4+5+6+7+{\dots}+(k+3)+(k+4)=\frac{(k+1)(k+8)}{2}\end{aligned}

Langkah Induksi

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri }P(k+1)\\&{=\ }\underbrace{4+5+6+7+{\dots}+(k+3)}_{\begin{matrix}\textsf{Ambil dari asumsi}\end{matrix}}+(k+4)\\&{=\ }\frac{k(k+7)}{2}+(k+4)\\&{=\ }\frac{k(k+7)+2(k+4)}{2}\\&{=\ }\frac{k^2+7k+2k+8}{2}\\&{=\ }\frac{k^2+9k+8}{2}\\&{=\ }\frac{(k+1)(k+8)}{2}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan.}\end{aligned}

Ruas kiri = ruas kanan, maka untuk n=k+1, yaitu P(k+1) terbukti benar.

KESIMPULAN

P(n)benar untukn=1 (basis induksi), dan dengan asumsi P(n)benar untukn=k, telah ditunjukkan bahwa P(n)benar pula untukn=k+1.

Oleh karena itu,
4+5+6+7+{\dots}+(n+3)=\dfrac{n(n+7)}{2}\,,\ n \ge 1
TERBUKTI.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 30 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>