hitunglah integral berikut : ngasal jawab/bahasa alien, auto report sampe ke

Berikut ini adalah pertanyaan dari AndrewMalsar pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hitunglah integral berikut :

ngasal jawab/bahasa alien, auto report sampe ke akar-akar!
hitunglah integral berikut :
ngasal jawab/bahasa alien, auto report sampe ke akar-akar!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari $\displaystyle{\displaystyle{\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{dx}{x^2+2x+5}} \, } }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{\pi}{2}}}$ .

PEMBAHASAN

Integral tak wajar/improper integral merupakan bentuk integral tentu dimana batas pengintegralannya berupa :

1. Batas tak hingga.

2. Salah satu batas integral menyebabkan fungsi tidak kontinu.

Penyelesaian dari integral tak wajar adalah dengan mencari nilai limitnya di titik tak hingga atau di titik yang menyebabkan fungsi tidak kontinu.

$\displaystyle{(i).~\int\limits^b_{-\infty} {f(x)} \, dx= \lim_{a \to -\infty} \left [ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx \right ] }$

$\displaystyle{(i).~\int\limits^{\infty}_a {f(x)} \, dx= \lim_{b \to \infty} \left [ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx \right ] }$

Hasil dari integral tak wajar dapat bersifat konvergen maupun divergen.

DIKETAHUI

$\displaystyle{\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{dx}{x^2+2x+5}} \, = }$

DITANYA

Tentukan hasilnya.

PENYELESAIAN

Karena batas batas integralnya tak hingga maka termasuk integral tak wajar. Kita cari dahulu hasil dari $\displaystyle{\int\limits {\frac{dx}{x^2+2x+5}} \, }$ .

$\displaystyle{\int\limits {\frac{dx}{x^2+2x+5}} \, }$

$\displaystyle{=\int\limits {\frac{1}{(x^2+2x+1)+4}} \, dx }$

$\displaystyle{=\int\limits {\frac{1}{(x+1)^2+4}} \, dx }$

$\displaystyle{=\int\limits {\frac{1}{4\left [ \frac{(x+1)^2}{4}+1 \right ]}} \, dx }$

$\displaystyle{=\frac{1}{4}\int\limits {\frac{1}{\left ( \frac{x+1}{2} \right )^2+1}} \, dx }$

$---------------$

Misal :

$\displaystyle{u=\frac{x+1}{2}~\to~du=\frac{1}{2}dx}$

$----------------$

$\displaystyle{=\frac{1}{4}\int\limits {\frac{1}{u^2+1}} \, (2du) }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\int\limits {\frac{1}{u^2+1}} \, (du) }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}arctanu+C }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}arctan\left ( \frac{x+1}{2} \right )+C }$

Kembali ke soal awal.

$\displaystyle{\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{dx}{x^2+2x+5}} \, }$

$\displaystyle{=\int\limits^{0}_{-\infty} {\frac{1}{x^2+2x+5}} \, dx+\int\limits^{\infty}_{0} {\frac{1}{x^2+2x+5}} \, dx }$

$\displaystyle{= \lim_{a \to -\infty} \left [ \int\limits^{0}_a {\frac{1}{x^2+2x+5}} \, dx \right ]+\lim_{b \to \infty} \left [ \int\limits^b_{0} {\frac{1}{x^2+2x+5}} \, dx \right ] }$

$\displaystyle{= \lim_{a \to -\infty} \left [ \frac{1}{2}arctan\left ( \frac{x+1}{2} \right ) \right ]\Bigr|^0_a+\lim_{b \to \infty} \left [ \frac{1}{2}arctan\left ( \frac{x+1}{2} \right ) \right ]\Bigr|^b_0 }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ arctan\left ( \frac{0+1}{2} \right )-arctan\left ( \frac{a+1}{2} \right ) \right ]+\frac{1}{2}\lim_{b \to \infty} \left [ arctan\left ( \frac{b+1}{2} \right )-arctan\left ( \frac{0+1}{2} \right ) \right ] }$ $\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ arctan\left ( \frac{1}{2} \right )-arctan\left ( \frac{a+1}{2} \right ) \right ]+\frac{1}{2}\lim_{b \to \infty} \left [ arctan\left ( \frac{b+1}{2} \right )-arctan\left ( \frac{1}{2} \right ) \right ] }$ $\displaystyle{=\frac{1}{2} \left [ arctan\left ( \frac{1}{2} \right )-arctan\left ( \frac{-\infty}{2} \right ) \right ]+\frac{1}{2}\left [ arctan\left ( \frac{\infty}{2} \right )-arctan\left ( \frac{1}{2} \right ) \right ] }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2} \left [ arctan\left ( \frac{\infty}{2} \right )-arctan\left ( \frac{-\infty}{2} \right ) \right ]}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2} \left [ arctan\left ( \infty \right )+arctan\left ( \infty \right ) \right ]}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2} \left [ \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \right ]}$

$\displaystyle{=\frac{\pi}{2}}$

KESIMPULAN

Hasil dari $\displaystyle{\displaystyle{\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{dx}{x^2+2x+5}} \, } }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{\pi}{2}}}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Integral tak wajar : yomemimo.com/tugas/42201243
Integral tak wajar : yomemimo.com/tugas/41947628
Integral fungsi gamma : yomemimo.com/tugas/33625365

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 21 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah