Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita dapat menyelesaikan persamaan 2x^3 - 3ax^2 + a^3 - 2a = 0 dengan menggunakan teori persamaan kuadrat dan kubik.

Pertama-tama, kita membagi persamaan dengan 2 sehingga menjadi x^3 - (3a/2)x^2 + (a^3/2 - a) = 0.

Selanjutnya, kita definisikan y = x - a/3 sehingga persamaan di atas menjadi y^3 + py + q = 0, dengan p = - (3a^2)/4 dan q = (2a^3)/27 - a^2/3.

Kemudian, kita cari nilai-nilai p dan q agar persamaan tersebut hanya memiliki satu akar real. Syarat agar persamaan kubik hanya memiliki satu akar real adalah ketika turunan pertama dan turunan kedua dari persamaan tersebut sama-sama nol di akar tersebut.

Turunan pertama dari y^3 + py + q adalah 3y^2 + p, sehingga turunan pertama menjadi nol jika y = ±√(-p/3).

Turunan kedua dari y^3 + py + q adalah 6y, sehingga turunan kedua menjadi nol jika y = 0.

Jika kita ganti nilai y dengan x - a/3, maka persamaan di atas hanya memiliki satu akar real jika persamaan awal, 2x^3 - 3ax^2 + a^3 - 2a = 0, memiliki satu akar real di mana x = a/3 + √(-p/3) atau x = a/3 - √(-p/3), dan turunan kedua dari persamaan tersebut sama-sama nol di x = a/3 + √(-p/3) dan x = a/3 - √(-p/3).

Karena y = ±√(-p/3) dan p = - (3a^2)/4, maka y hanya real jika a^2 ≥ 0, sehingga a tidak terbatas. Selanjutnya, jika kita substitusikan p ke dalam turunan kedua persamaan di atas, maka kita mendapatkan turunan kedua adalah 12(√(-p/3))^2 = 4p. Karena p = - (3a^2)/4, maka turunan kedua menjadi 3a^2.

Maka, untuk persamaan 2x^3 - 3ax^2 + a^3 - 2a = 0 hanya memiliki satu akar real, maka turunan pertama dan turunan kedua dari persamaan tersebut sama-sama nol di x = a/3 + √(-p/3) atau x = a/3 - √(-p/3). Oleh karena itu, nilai a haruslah real dan tidak terbatas, karena persamaan hanya memiliki satu akar real ketika nilai a^2 ≥ 0.