1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1. Tentukan rumus ke-n barisan geometri berikut, kemudian tentukan jumlah

Berikut ini adalah pertanyaan dari evi021016 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1. Tentukan rumus ke-n barisan geometri berikut, kemudian tentukan jumlah 8 suku pertamanyaa. 6, 9, 13,...
b.18, 12, 8, ...
c. -2 3 2.-6. 18....​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Barisan geometri:

  • a. 6, 9, 13,5, ... (koreksi untuk U₃)
    Suku ke-n:
    Uₙ = 4·(3/2)ⁿ.
    Jumlah 8 suku pertama:
    S₈ = 18915/64 = 295 ³⁵/₆₄.
  • b. 18, 12, 8, ...
    Suku ke-n:
    Uₙ = 27·(2/3)ⁿ.
    Jumalh 8 suku pertama:
    S₈ = 12610/243 = 51 ²¹⁷/₂₄₃.
  • c. –2/3, 2, –6, 18, ...
    Suku ke-n:
    Uₙ = (2/9)·(–3)ⁿ
    Jumalh 8 suku pertama:
    S₈ = 3280/3 = 1093 ¹/₃.

 

Pembahasan

Barisan dan Deret Geometri

a. 6, 9, 13, ...

Rasio:
r = U₂/U₁ = 9/6 = 3/2.

Jika memang barisan ini barisan geometri, seharusnya U₃ = (3/2) × 9 = 13,5, bukan 13. Anggap saja salah soal.

Suku ke-n:

\begin{aligned}U_n&=ar^{n-1}=6\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\\&=2\cdot3\cdot3^{n-1}\cdot2^{1-n}\\&=3^{1+n-1}\cdot2^{1+1-n}\\&=3^n\cdot2^{2-n}\\&=3^n\cdot2^2\cdot2^{-n}\\U_n&=4\left(\frac{3}{2}\right)^n\end{aligned}

Jumlah 8 suku pertama:

\begin{aligned}S_n&=a\cdot\frac{\left(r^n-1\right)}{r-1}\\S_8&=6\cdot\frac{\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^8-1\right]}{\dfrac{3}{2}-1}\\&=6\cdot\frac{\dfrac{3^8}{2^8}-1}{\dfrac{1}{2}}\\&=6\cdot2\cdot\left(\frac{6561}{256}-1\right)\\&=12\cdot\frac{6305}{256}=3\cdot2^2\cdot\frac{6305}{2^8}\\&=\frac{18915}{2^6}=\frac{18915}{64}\\S_8&=\bf295\,\frac{35}{64}\end{aligned}
____________

b. 18, 12, 8, ...

Rasio:
r = U₂/U₁ = U₃/U₂
r = 12/18 = 8/12
r = 2/3 = 2/3

Suku ke-n:

\begin{aligned}U_n&=ar^{n-1}=18\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\\&=2\cdot3^2\cdot2^{n-1}\cdot3^{1-n}\\&=2^{1+n-1}\cdot3^{2+1-n}\\&=2^n\cdot3^{3-n}=3^3\cdot2^n\cdot3^{-n}\\U_n&=27\left(\frac{2}{3}\right)^n\end{aligned}

Jumlah 8 suku pertama:

\begin{aligned}S_n&=a\cdot\frac{\left(1-r^n\right)}{1-r}\\S_8&=18\cdot\frac{\left[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^8\right]}{1-\dfrac{2}{3}}\\&=18\cdot\frac{1-\dfrac{2^8}{3^8}}{\dfrac{1}{3}}\\&=18\cdot3\cdot\left(1-\frac{256}{6561}\right)\\&=3^3\cdot2\cdot\frac{6305}{6561}=3^3\cdot2\cdot\frac{6305}{3^8}\\&=\frac{12610}{3^5}=\frac{12610}{243}\\S_8&=\bf51\,\frac{217}{243}\end{aligned}
____________

c. –2/3, 2, –6, 18, ...​

Rasio:

r = U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃
r = 2/(–2/3) = –6/2 = 18/(–6)
r = –3 = –3 = –3

Suku ke-n:

\begin{aligned}U_n&=-\frac{2}{3}\cdot(-3)^{n-1}\\&=\frac{2}{-3}\cdot(-3)^{n-1}\\&=2\cdot(-3)^{n-1-1}\\&=2\cdot(-3)^{n-2}\\U_n&=\bf\frac{2}{9}\cdot(-3)^n\end{aligned}

Jumlah 8 suku pertama:

\begin{aligned}S_n&=a\cdot\frac{\left(1-r^n\right)}{1-r}\\S_8&=\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{\left[1-(-3)^8\right]}{1-(-3)}\\&=\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1-6561}{4}\\&=\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{-6560}{2}\\&=\frac{6560}{6}=\frac{3280}{3}\\S_8&=\bf1093\,\frac{1}{3}\end{aligned}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 15 May 23
<< Previous Post
Next Post >>