Pernyataan bahwa nilai perbandingan panjang diagonal persegi dan panjang diagonal persegi panjang sama dengan tan⁻¹(tan ½) TIDAK TERBUKTI.
 

Pembahasan

Diketahui:

• Terdapat persegi dan persegi panjang dengan keliling yg sama.
• Luas persegi: L₁ = 100 cm².
• Luas persegi panjang: L₂ = 75 cm².

Ditanyakan:

• Buktikan jika nilai perbandingan panjang diagonal persegi : panjang diagonal persegi panjang = tan⁻¹(tan ½).

PENYELESAIAN

Pertama-tama, perhatikan bahwa tan⁻¹(tan ½) = ½.

Kemudian, keliling persegi = keliling persegi panjang.
4s = 2(p + l)
⇒ 2s = p + l
⇒ 2√L₁ = p + l
⇒ 2√100 = p + l
⇒ 2·10 = p + l
⇒ p + l = 20

Panjang diagonal persegi panjang dapat dicari dengan teorema Pythagoras.
d₂ = √(p² + l²)
⇒ d₂ = √[(p + l)² – 2pl]
⇒ d₂ = √[(p + l)² – 2L₂]
⇒ d₂ = √(20² – 2·75)
⇒ d₂ = √(400 – 150)
⇒ d₂ = √250

Dengan panjang sisi persegi = s, panjang diagonal persegi:
d₁ = s√2 = √L₁√2 = √(2L₁)

Maka, dengan L₁ = 100 cm², nilai perbandingan d₁ : d₂ dinyatakan oleh:
d₁ : d₂= √(2·100) : √250
⇒ d₁ : d₂ = √200 : √250
⇒ d₁ : d₂ = √(200/250) = √(4/5)
⇒ d₁ : d₂ = 2/(√5) = (2/5)√5
⇒ d₁ : d₂ ≠ ½
⇒ d₁ : d₂ ≠ tan⁻¹(tan ½)

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, pernyataan bahwa nilai perbandingan panjang diagonal persegi dan panjang diagonal persegi panjang sama dengan tan⁻¹(tan ½) TIDAK TERBUKTI.