Terdapat deret: 3+8+13+18+...+(5n-2). Deret tersebut memiliki rumus ½n(5n+1). Dengan induksi matematika, deret dan rumusnya terbukti benar. Silakan simak penjelasan di bawah.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Umumnya, induksi matematika membuktikan pernyataan lengkap. Namun, pada soal, tidak diberikan rumus deretnya. Akan ditentukan rumus deretnya terlebih dahulu dengan rumus deret aritmatika.

Diketahui: deret: 3+8+13+18+...+(5n-2)

Ditanya: rumus deret dan bukti dengan induksi matematika

Jawab:

• Rumus deret

Sn = ½n(U₁+Un) = ½n(3+5n-2) = ½n(5n+1)

Jadi, rumus deret tersebut adalah ½n(5n+1).

• Pernyataan

P(n): 3+8+13+18+...+(5n-2) = ½n(5n+1)

Akan dibuktikan dengan induksi matematika.

• Langkah awal

Akan dibuktikan untuk n = 1.

Ruas kiri:

5·1-2 = 5-2 = 3

Ruas kanan:

½·1(5·1+1) = ½(5+1) = ½·6 = 3

Karena 5·1-2 = ½·1(5·1+1), maka pernyataan terbukti untuk n = 1.

• Langkah induksi

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu:

3+8+13+18+...+(5k-2) = ½k(5k+1)

Akan dibuktikan untuk n = k+1, yaitu:

3+8+13+18+...+(5k-2)+(5(k+1)-2) = ½(k+1)(5(k+1)+1)

Akan dibuktikan dari ruas kiri.

3+8+13+18+...+(5k-2)+(5(k+1)-2)

= ½k(5k+1)+(5(k+1)-2)

= ½k(5k+1)+(5(k+1)-2)

= ⁵⁄₂k²+½k+(5k+5-2)

= ⁵⁄₂k²+½k+5k+3

= ½(5k²+k+10k+6)

= ½(5k²+11k+6)

= ½(k+1)(5k+6)

= ½(k+1)(5k+5+1)

= ½(k+1)(5(k+1)+1)

Karena 3+8+13+18+...+(5k-2)+(5(k+1)-2) = ½(k+1)(5(k+1)+1), maka pernyataan terbukti untuk n = k+1. Jadi, P(n) terbukti.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Membuktikan Suatu Deret dengan Induksi Matematika pada yomemimo.com/tugas/42273203

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1