Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan volume benda putar dari bidang yang dibatasi oleh kurva y = x, y = 1, y = 3, dan sumbu x, jika diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°, kita dapat menggunakan metode pi atas tiga puluh dua (π/32).

Pertama-tama, kita perlu menentukan batas integrasi dan fungsi jari-jari. Karena kurva yang membentuk bidang tersebut memiliki simetri terhadap sumbu y = 2, maka kita dapat menggunakan batas integrasi dari y = 2 hingga y = 3. Selanjutnya, jari-jari dapat dihitung dengan cara mengurangi jarak antara kurva terluar dengan sumbu x (y = 3 dan y = 1) dari jarak antara kurva terdalam dengan sumbu x (y = x).

Maka, fungsi jari-jari dapat dituliskan sebagai r(y) = 3 - y - (y - x) = x - 2y + 3.

Selanjutnya, volume benda putar dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

V = π ∫₂³ r(y)² dy

= π ∫₂³ (x - 2y + 3)² dy

= π ∫₂³ (x² - 4xy + 4y² - 12x + 12y - 9) dy

= π [ x²y - 2xy² + (4/3)y³ - 6xy + 6y² - 9y ] |₂³

= π [ 3x² - 10x + 13/3 ]

Dengan demikian, volume benda putar dari bidang tersebut adalah 3πx² - 10πx + (13/3)π.

Untuk menentukan volume benda putar dari bidang yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = (2 - x)², jika diputar sejauh 360°, kita juga dapat menggunakan metode pi atas tiga puluh dua (π/32).

Pertama-tama, kita perlu menentukan batas integrasi dan fungsi jari-jari. Karena kurva yang membentuk bidang tersebut bersilangan pada titik (1, 1), maka kita dapat menggunakan batas integrasi dari x = 0 hingga x = 1. Selanjutnya, jari-jari dapat dihitung dengan cara mencari jarak antara kedua kurva tersebut pada setiap titik x.

Maka, fungsi jari-jari dapat dituliskan sebagai r(x) = (2 - x)² - x.

Selanjutnya, volume benda putar dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

V = π ∫₀¹ r(x)² dx

= π ∫₀¹ ((2 - x)² - x)² dx

= π ∫₀¹ (x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 4) dx

= π [ (1/5)x⁵ - x⁴ + 2x³ - 2x² + 4x ] |₀¹

= (16/5)π

Dengan demikian, volume benda putar dari bidang tersebut adalah (16/5)π.