Jawab:

dimensi peti yang paling ekonomis adalah 55.3 m × 55.3 m × 22.1 m.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Volume peti adalah luas alas dikali dengan tinggi peti, yaitu:

V = lwh

Diketahui V = 216 m³, sehingga kita dapat mengganti nilai V dan mendapatkan:

216 = lwh

Kita juga tahu bahwa sisi-sisi ujung peti berbentuk bujur sangkar, sehingga l = w. Dengan demikian, persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi:

216 = l^2h

Sekarang kita harus mencari dimensi peti yang paling ekonomis. Biaya untuk membuat alas adalah Rp.5000/m², sehingga biaya untuk membuat alas peti dengan luas A adalah 5000A. Biaya untuk membuat dinding adalah Rp.3500/m², sehingga biaya untuk membuat seluruh dinding peti dengan luas permukaan P adalah 3500P.

Luas alas peti adalah lw, sedangkan luas permukaan dinding peti adalah 2lh + 2lw (karena ada dua persegi panjang dengan panjang l dan lebar h, serta dua persegi panjang dengan panjang w dan lebar h). Kita dapat mengganti nilai l dengan w dan mengubah persamaan tersebut menjadi:

P = 2lh + 2lw = 2lh + 2l^2

Untuk mencari dimensi peti yang paling ekonomis, kita perlu mencari nilai minimum dari total biaya pembuatan peti, yaitu:

C = 5000A + 3500P = 5000lw + 3500(2lh + 2l^2)

Untuk mencari nilai minimum, kita dapat mengambil turunan parsial C terhadap l dan h dan menyamakannya dengan nol:

∂C/∂l = 10000l + 7000h = 0

∂C/∂h = 7000l = 0

Dari persamaan pertama, kita dapat mengganti nilai h dengan -(10/7)l dan mendapatkan:

∂C/∂l = 10000l - 7000(10/7)l = 0

Dengan mensederhanakan persamaan tersebut, kita mendapatkan:

l = 5/2 h

Kita juga tahu bahwa l = w, sehingga:

w = 5/2 h

Dengan demikian, kita dapat mengganti nilai l dan w dalam persamaan untuk volume peti:

216 = l^2h = (5/2h)^2h

Dengan mensederhanakan persamaan tersebut, kita mendapatkan:

h^3 = 13824/125

h ≈ 22.1 m

Kita juga dapat menghitung nilai l dan w:

l = w = 5/2 h ≈ 55.3 m

Dengan demikian, dimensi peti yang paling ekonomis adalah 55.3 m × 55.3 m × 22.1 m.