1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Find the last digit of(Carilah angka terakhir dari) 1^2015+2^2015+3^2015+...+10^2015​

Berikut ini adalah pertanyaan dari justinhuang1942 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Find the last digit of
(Carilah angka terakhir dari) 1^2015+2^2015+3^2015+...+10^2015
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

5

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Akan dicari digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal, sehingga kita akan bekerja pada \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} atau kelas kongruensi 10 untuk mendapatkan digit terakhir dalam radix-10

Triknya adalah menggunakan modulo 10 yang dapat mengubah nilai-nilai seperti berikut

\begin{aligned}6^n &\equiv (-4)^n \pmod{10}\\7^n &\equiv (-3)^n \pmod{10}\\8^n &\equiv (-2)^n \pmod{10}\\9^n &\equiv (-1)^n \pmod{10}\\\end{aligned}

\begin{aligned}\sum_{i=1}^{10} i^{2015} &\equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& 6^{2015} + 7^{2015} + 8^{2015} +9^{2015} + 10^{2015} &\pmod{10} \\& \equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& (-4)^{2015} + (-3)^{2015} + (-2)^{2015} + (-1)^{2015} + 0^{2015} &\pmod{10} \\&\equiv 1^{2015} - 1^{2015} + 2^{2015} - 2^{2015} + 3^{2015} - 3^{2015} + \\& 4^{2015} - 4^{2015} + 5^{2015} &\pmod{10}\\&\equiv 5^{2015} &\pmod{10}\\& \equiv{5} &\pmod{10}\end{aligned}

Maka dapat disimpulkan bahwa digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal adalah 5

Terlampir snippet python untuk sanity check dan jika ingin melihat brute force. Lampiran pertama memperlihatkan dengan modular exponentiation pow(a, b, c) python, lampiran kedua menggunakan BigInt python untuk bruteforce digit terakhir

Jawab:5Penjelasan dengan langkah-langkah:Akan dicari digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal, sehingga kita akan bekerja pada [tex]\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}[/tex] atau kelas kongruensi 10 untuk mendapatkan digit terakhir dalam radix-10Triknya adalah menggunakan modulo 10 yang dapat mengubah nilai-nilai seperti berikut[tex]\begin{aligned}6^n &\equiv (-4)^n \pmod{10}\\7^n &\equiv (-3)^n \pmod{10}\\8^n &\equiv (-2)^n \pmod{10}\\9^n &\equiv (-1)^n \pmod{10}\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\sum_{i=1}^{10} i^{2015} &\equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& 6^{2015} + 7^{2015} + 8^{2015} +9^{2015} + 10^{2015} &\pmod{10} \\& \equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& (-4)^{2015} + (-3)^{2015} + (-2)^{2015} + (-1)^{2015} + 0^{2015} &\pmod{10} \\&\equiv 1^{2015} - 1^{2015} + 2^{2015} - 2^{2015} + 3^{2015} - 3^{2015} + \\& 4^{2015} - 4^{2015} + 5^{2015} &\pmod{10}\\&\equiv 5^{2015} &\pmod{10}\\& \equiv{5} &\pmod{10}\end{aligned}[/tex]Maka dapat disimpulkan bahwa digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal adalah 5Terlampir snippet python untuk sanity check dan jika ingin melihat brute force. Lampiran pertama memperlihatkan dengan modular exponentiation pow(a, b, c) python, lampiran kedua menggunakan BigInt python untuk bruteforce digit terakhirJawab:5Penjelasan dengan langkah-langkah:Akan dicari digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal, sehingga kita akan bekerja pada [tex]\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}[/tex] atau kelas kongruensi 10 untuk mendapatkan digit terakhir dalam radix-10Triknya adalah menggunakan modulo 10 yang dapat mengubah nilai-nilai seperti berikut[tex]\begin{aligned}6^n &\equiv (-4)^n \pmod{10}\\7^n &\equiv (-3)^n \pmod{10}\\8^n &\equiv (-2)^n \pmod{10}\\9^n &\equiv (-1)^n \pmod{10}\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\sum_{i=1}^{10} i^{2015} &\equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& 6^{2015} + 7^{2015} + 8^{2015} +9^{2015} + 10^{2015} &\pmod{10} \\& \equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& (-4)^{2015} + (-3)^{2015} + (-2)^{2015} + (-1)^{2015} + 0^{2015} &\pmod{10} \\&\equiv 1^{2015} - 1^{2015} + 2^{2015} - 2^{2015} + 3^{2015} - 3^{2015} + \\& 4^{2015} - 4^{2015} + 5^{2015} &\pmod{10}\\&\equiv 5^{2015} &\pmod{10}\\& \equiv{5} &\pmod{10}\end{aligned}[/tex]Maka dapat disimpulkan bahwa digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal adalah 5Terlampir snippet python untuk sanity check dan jika ingin melihat brute force. Lampiran pertama memperlihatkan dengan modular exponentiation pow(a, b, c) python, lampiran kedua menggunakan BigInt python untuk bruteforce digit terakhirJawab:5Penjelasan dengan langkah-langkah:Akan dicari digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal, sehingga kita akan bekerja pada [tex]\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}[/tex] atau kelas kongruensi 10 untuk mendapatkan digit terakhir dalam radix-10Triknya adalah menggunakan modulo 10 yang dapat mengubah nilai-nilai seperti berikut[tex]\begin{aligned}6^n &\equiv (-4)^n \pmod{10}\\7^n &\equiv (-3)^n \pmod{10}\\8^n &\equiv (-2)^n \pmod{10}\\9^n &\equiv (-1)^n \pmod{10}\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\sum_{i=1}^{10} i^{2015} &\equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& 6^{2015} + 7^{2015} + 8^{2015} +9^{2015} + 10^{2015} &\pmod{10} \\& \equiv 1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} +\\& (-4)^{2015} + (-3)^{2015} + (-2)^{2015} + (-1)^{2015} + 0^{2015} &\pmod{10} \\&\equiv 1^{2015} - 1^{2015} + 2^{2015} - 2^{2015} + 3^{2015} - 3^{2015} + \\& 4^{2015} - 4^{2015} + 5^{2015} &\pmod{10}\\&\equiv 5^{2015} &\pmod{10}\\& \equiv{5} &\pmod{10}\end{aligned}[/tex]Maka dapat disimpulkan bahwa digit terakhir dari ekspresi yang ada pada soal adalah 5Terlampir snippet python untuk sanity check dan jika ingin melihat brute force. Lampiran pertama memperlihatkan dengan modular exponentiation pow(a, b, c) python, lampiran kedua menggunakan BigInt python untuk bruteforce digit terakhir

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh TanurRizal dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 12 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>