Nilai stasioner f(x) = x² – 4x – 8 adalah –12, yang dicapai pada titik (2, –12).
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

DIberikan fungsi kuadrat: f(x) = x² – 4x – 8.

Ditanyakan: nilai stasioner f(x).

Penyelesaian

Untuk mencari nilai stasioner dari sebuah fungsi kuadrat, kita bisa memanfaatkan rumus nilai puncak (maksimum/minimum) dari fungsi kuadrat, karena grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris, yang stasioner pada saat mencapai titik puncak (maksimum/minimum) yang terletak pada garis sumbu simetri fungsi kuadrat.

TItik puncak fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c terdapat pada:
P( –b/(2a), –D/(4a) )
dengan D menyatakan nilai diskriminan dari f(x), yaitu D = b² – 4ac.

Dari f(x) = x² – 4x – 8 diperoleh:
⇒ a = 1, b = –4, c = –8

Nilai puncaknya:
f(x) = y = –D/(4a).= –(b² – 4ac) / (4a)
⇒ y = –[(–4)² – 4·1·(–8)] / (4·1)
⇒ y = –[16 + 32] / 4
⇒ y = –(4 + 8)
⇒ y = –12

Nilai puncak y = –12 dicapai f(x) ketika:
x = –b/(2a) = –(–4) / (2·1)
⇒ x = 4/2 = 2

∴ Jadi, nilai stasioner f(x) = x² – 4x – 8 adalah –12, yang dicapai pada titik (2, –12).
______________

Penjelasan dengan Turunan Pertama Fungsi

Grafik fungsi f(x) berada dalam kondisi stasioner pada titik (a, b) ketika garis singgung f(x) pada titik tersebut memiliki gradien = 0. Gradien fungsi f(x) dapat diperoleh dari turunan pertama f(x), sehingga ketika stasioner di titik (a, b), f'(a) = 0.

Untuk fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c:
f'(x) = 2ax + b

Stasioner: f'(x) = 0
⇒ 2ax + b = 0
⇒ 2ax = –b
⇒ x = –b/(2a)

Absis titik stasioner ini sama dengan yang dinyatakan oleh rumus pada cara pertama di atas.

Nilai stasionernya adalah:
f[–b/(2a)] = a·[–b/(2a)]² + b[–b/(2a)] + c
⇒ f[–b/(2a)] = a·[(b²)/(4a²)] – (b²)/(2a) + c
⇒ f[–b/(2a)] = (b²)/(4a) – (b²)/(2a) + c
Samakan penyebut:
⇒ f[–b/(2a)] = (b² – 2b² + 4ac) / (4a)
⇒ f[–b/(2a)] = (–b² + 4ac) / (4a)
⇒ f[–b/(2a)] = –(b² – 4ac) / (4a)
⇒ f[–b/(2a)] = –D/(4a)
dengan D adalah nilai diskriminan dari f(x), yaitu D = b² – 4ac.

Nilai stasioner, atau nilai ordinat titik stasioner ini sama dengan yang dinyatakan oleh rumus pada cara pertama di atas.

Jadi, khusus untuk fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan cara pertama. Untuk fungsi lain, seperti polinomial dengan derajat > 2, kita gunakan aplikasi turunan pertama.
______________

KESIMPULAN

∴ Nilai stasioner f(x) = x² – 4x – 8 adalah –12 yang dicapai pada titik (2, –12).