Jawab sekalian Penjelasan dengan langkah-langkah:

a. Untuk mencari jumlah tenaga kerja yang digunakan pada saat produksi maksimum, kita perlu mencari nilai L yang memberikan nilai TP maksimum. Kita dapat menemukan nilai L tersebut dengan mencari turunan pertama dari fungsi produksi TP dan mencari titik kritisnya.

Turunan pertama dari fungsi produksi TP adalah:

TP' = -0,2L + 12L

Setelah kita menyamakan turunan pertama dengan nol, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut dan mendapatkan nilai L:

L = 60

Jadi, pada saat produksi maksimum, jumlah tenaga kerja yang digunakan adalah 60. Untuk menghitung besar total produksi, kita perlu mengganti nilai L tersebut ke dalam fungsi produksi TP:

TP = -0,1(60)² + 12(60)² + 6(0)

= 3600 + 43200 + 0

= 79200

Jadi, besar total produksi pada saat produksi maksimum adalah 79200.

b. Untuk mencari jumlah tenaga kerja yang digunakan pada saat marginal produksi maksimum, kita perlu mencari nilai L yang memberikan nilai TP' maksimum. Kita dapat menemukan nilai L tersebut dengan mencari turunan pertama dari fungsi produksi TP' dan mencari titik kritisnya.

Turunan pertama dari fungsi produksi TP' adalah:

TP'' = -0,4L + 12

Setelah kita menyamakan turunan pertama dengan nol, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut dan mendapatkan nilai L:

L = 30

Jadi, pada saat marginal produksi maksimum, jumlah tenaga kerja yang digunakan adalah 30. Untuk membuktikan bahwa fungsi TP memiliki maksimum, kita perlu mengecek nilai TP'' pada titik L = 30. Jika TP'' < 0, maka fungsi TP memiliki maksimum pada titik tersebut.

Jika kita ganti nilai L = 30 ke dalam fungsi TP'', kita akan mendapatkan:

TP'' = -0,4(30) + 12

= -12 + 12

= 0

Karena TP'' = 0, maka fungsi TP tidak memiliki maksimum pada titik L = 30. Sebaliknya, fungsi TP memiliki minimum pada titik tersebut.