QUIZZ Diketahui[tex] \frac{ {a}^{2} + b }{ab} =

Berikut ini adalah pertanyaan dari CLA1R0 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QUIZZDiketahui
$\frac{ {a}^{2} + b }{ab} = \frac{5}{6} \\$
tentukan kemungkinan nilai a dan b , jika A<B

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai $a$ dan $b$ yang mungkin memenuhi persamaan tersebut adalah

$(a, b) = \left(-1, -\frac{6}{11} \right) \:, \: (2,6) \:, \: (6,9) \:, \: \cdots$

Pembahasan

Diketahui :

$\frac{a^2+b}{ab} = \frac{5}{6} \: \:, \: \: \text{ dengan } \: \: a < b \: \:. \\$

Ditanya :

Kemungkinan nilai $a$ dan $b \: \:. \\$

Jawab :

$\frac{a^2+b}{ab} = \frac{5}{6} \: \:, \: \: \text{ dengan } \: \: a < b \: \:, \: \: a \neq 0 \:, \: b \neq 0 \\ \\$

$\begin{aligned} \frac{a^2+b}{ab} & \: = \frac{5}{6} \\ \\ 6\left(a^2+b\right) \: & = 5ab \\ \\ 6a^2 + 6b \: & = 5ab \\ \\ 6a^2 \: & = 5ab - 6b \\ \\ 6a^2 \: & = b(5a-6) \\ \\ \Leftrightarrow \: \: b \: & = \frac{6a^2}{5a-6} \: \:, \: \: a \neq \frac{6}{5} \\ \\ \end{aligned}$

$\text{Untuk } \: b < 0 \: \: \text{ diperoleh apabila } \: \: a < \frac{6}{5} \: \:, \: a \neq 0 \: \:. \\ \\ \text{Untuk } \: b > 0 \: \: \text{ diperoleh apabila } \: \: a > \frac{6}{5} \: \:. \\ \\$

Karena nilai $a < b$ maka interval nilai $a$ yang memenuhi adalah

$a < 0 \: \: \text{ atau } \: \: a > \frac{6}{5} \: \:. \\ \\$

Untuk $a = -1 \\$

$\begin{aligned} \frac{a^2+b}{ab} & \: = \frac{5}{6} \\ \\ \frac{(-1)^2+b}{(-1) \cdot b} \: & = \frac{5}{6} \\ \\ \frac{b+1}{-b} \: & = \frac{5}{6} \\ \\ 6b+6 \: & = -5b \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 11b \: & = -6 \\ \\ b \: & = -\frac{6}{11} \\ \\ \end{aligned}$

Untuk $a = 2 \\$

$\begin{aligned} \frac{a^2+b}{ab} & \: = \frac{5}{6} \\ \\ \frac{2^2+b}{2 \cdot b} \: & = \frac{5}{6} \\ \\ \frac{b+4}{2b} \: & = \frac{5}{6} \\ \\ 6b+24 \: & = 10b \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 4b \: & = 24 \\ \\ b \: & = 6 \\ \\ \end{aligned}$

Untuk $a = 6 \\$

$\begin{aligned} \frac{a^2+b}{ab} & \: = \frac{5}{6} \\ \\ \frac{6^2+b}{6 \cdot b} \: & = \frac{5}{6} \\ \\ \frac{b+36}{6b} \: & = \frac{5}{6} \\ \\ 6b+216 \: & = 30b \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 24b \: & = 216 \\ \\ b \: & = 9 \\ \\ \end{aligned}$