Jawaban:

Jika R adalah division ring yang komutatif, maka R sebenarnya adalah sebuah field (lapangan) yang disebut field quotient. Field quotient dapat dibentuk dengan membagi setiap elemen non-nol dari R dengan elemen non-nol lainnya. Sebagai contoh, jika R adalah division ring yang berisi bilangan rasional (Q), maka field quotient dari R adalah field of fractions Q(x) yang terdiri dari pecahan-persamaan seperti p(x)/q(x), dengan p(x) dan q(x) adalah polinom pada variabel x dengan koefisien bilangan rasional.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Karena R adalah division ring, maka setiap elemen non-nol R memiliki invers perkalian. Artinya, jika a dan b adalah dua elemen non-nol dari R, maka a x b⁻¹ dan b x a⁻¹ keduanya ada di dalam R, di mana b⁻¹ dan a⁻¹ adalah invers dari b dan a.

Karena R juga komutatif, maka a x b⁻¹ = b⁻¹ x a. Oleh karena itu, kita dapat membagi setiap elemen non-nol R dengan elemen non-nol lainnya. Dengan demikian, setiap elemen dari R dapat dituliskan sebagai p/q, di mana p dan q adalah elemen dari R dan q bukanlah 0. Jika q = 1, maka p/q = p dan kita sudah tahu bahwa setiap elemen dari R adalah sebuah lapangan.

Kita perlu menunjukkan bahwa field quotient dari R memenuhi semua sifat-sifat yang diperlukan untuk menjadi sebuah lapangan. Namun, karena R adalah division ring, maka kita sudah tahu bahwa field quotient dari R juga akan memenuhi sifat-sifat tersebut. Oleh karena itu, R di mana klapangan dan field quotient dari R adalah contoh konstruksi dari sebuah lapangan dari sebuah division ring yang komutatif.