Math is fun! LIMIT [tex]\boxed{\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{2\sin^{2}\left(x\right)-1}{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}=...\ }}[/tex] [tex]\small\boxed{\tt{Note_{1}=Jawablah\ dengan\ usaha\ sendiri}}[/tex] [tex]\small\boxed{\tt{Note_{2}=Dilarang\ nyalin\

Berikut ini adalah pertanyaan dari Sinogen pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Math is fun! LIMIT $\boxed{\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{2\sin^{2}\left(x\right)-1}{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}=...\ }}$

$\small\boxed{\tt{Note_{1}=Jawablah\ dengan\ usaha\ sendiri}}$
$\small\boxed{\tt{Note_{2}=Dilarang\ nyalin\ jawaban\ maupun\ copas\ dari\ web}}$
$\small\boxed{\tt{Note_{3}=Jaga \ Kesehatan \ yah}}$

Terima kasih ^^
$Math is fun! LIMIT [tex]\boxed{\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{2\sin^{2}\left(x\right)-1}{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}=...\ }}[/tex] [tex]\small\boxed{\tt{Note_{1}=Jawablah\ dengan\ usaha\ sendiri}}[/tex] [tex]\small\boxed{\tt{Note_{2}=Dilarang\ nyalin\ jawaban\ maupun\ copas\ dari\ web}}[/tex] [tex]\small\boxed{\tt{Note_{3}=Jaga \ Kesehatan \ yah}}[/tex] Terima kasih ^^$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:
$\displaystyle\bf=-\sqrt2$

Penjelasan:
$\displaystyle\tt\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2sin^2(x)-1}{cos(x)-sin(x)}$
L'Hôpital, derivatif pembilang
bagi derivatif penyebut
$=\displaystyle\tt\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{(2sin^2(x)-1)'}{(cos(x)-sin(x))'}$
$=\displaystyle\tt\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2(sin^2(x))'}{(cos(x))'-(sin(x))'}$
$=\displaystyle\tt\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2((sin^2)'(x)(sin(x))')}{-sin(x)-cos(x)}$
$=\displaystyle\tt\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2(2sin(x)cos(x))}{-sin(x)-cos(x)}$
2sin(x)cos(x) = sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x)
sin(x + x) = sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x)
sin(2x) = sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) maka
$=\displaystyle\tt\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2sin(2x)}{-sin(x)-cos(x)}$
$=\displaystyle\tt\frac{2sin(2(\frac{\pi}{4}))}{-sin(\frac{\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{4})}$
$=\displaystyle\tt\frac{2sin(\frac{\pi}{2})}{-2sin(\frac{\pi}{4})}$
$=\displaystyle\tt\frac{2(1)}{-2(\frac{\sqrt2}{2})}=\frac{2}{-\sqrt2}$
$\displaystyle\bf=-\sqrt2$