Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan persamaan bidang yang melalui titik A (4, 1, -2) dan tegak lurus pada bidang normal B = 2i + 3j + k, kita perlu mencari vektor normal bidang baru terlebih dahulu. Vektor normal baru dapat ditemukan dengan melakukan produk silang antara vektor normal B dan C.

Produk silang antara dua vektor dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

N = B × C

Langkah pertama adalah menghitung produk silang antara vektor normal B dan C:

N = (2i + 3j + k) × (i - j + 3k)

Untuk melakukan perhitungan ini, kita dapat menggunakan aturan dasar produk silang antara vektor. Hasilnya adalah:

N = (3 - 9)i + (2 + 3)i - (6 + 2)j + (2 - 3)k + (2 - 9)k + (2 - 3)j

= -6i + 5j - 7k

Sekarang kita memiliki vektor normal baru N = -6i + 5j - 7k. Dalam persamaan bidang umum, persamaan tersebut akan memiliki bentuk:

Ax + By + Cz = D

Dalam hal ini, A, B, C adalah komponen dari vektor normal N, dan x, y, z adalah variabel koordinat. Untuk menemukan D, kita dapat menggunakan titik yang dilewatinya bidang, yaitu titik A (4, 1, -2). Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:

-6(4) + 5(1) - 7(-2) = D

-24 + 5 + 14 = D

-5 = D

Sehingga persamaan bidang yang melalui titik A (4, 1, -2) dan tegak lurus pada bidang normal B = 2i + 3j + k adalah:

-6x + 5y - 7z = -5