Jawaban:

Pertama-tama, kita dapat menuliskan persamaan diferensial sebagai berikut:

x'' + x + 2 / x'' + x + 1 = 0

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode substitusi. Pertama-tama, kita asumsikan bahwa solusi dari persamaan ini memiliki bentuk:

x = y + z

di mana y adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen

y'' + y + 2 / y'' + y + 1 = 0

dan z adalah suatu fungsi yang belum diketahui.

Kita dapat menyelesaikan persamaan homogen menggunakan karakteristik persamaan:

m^2 + m + 2 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita mendapatkan akar-akarnya:

m1 = (-1 + i√7) / 2

m2 = (-1 - i√7) / 2

Sehingga solusi umum dari persamaan homogen adalah:

y(t) = c1e^(-t/2)cos((√7/2)t) + c2e^(-t/2)sin((√7/2)t)

Selanjutnya, kita substitusikan x = y + z ke dalam persamaan diferensial awal dan melakukan beberapa manipulasi aljabar. Setelah dilakukan beberapa penyederhanaan, kita mendapatkan:

z'' + 2z' + z = 0

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan karakteristik persamaan seperti sebelumnya:

m^2 + 2m + 1 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita mendapatkan akar-akarnya:

m1 = -1

m2 = -1

Sehingga solusi umum dari persamaan ini adalah:

z(t) = c3 + c4t

Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial awal adalah:

x(t) = y(t) + z(t)

= c1e^(-t/2)cos((√7/2)t) + c2e^(-t/2)sin((√7/2)t) + c3 + c4t

dengan c1, c2, c3, dan c4 merupakan konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal atau batasan masalah yang diberikan