1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Selesaikan [tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{6+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{990+100\sqrt{99}}[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Selesaikan \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{6+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{990+100\sqrt{99}}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari
\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{6+4\sqrt{3}}+{\dots}+\frac{1}{990+100\sqrt{99}}\end{aligned}
adalah 9/10.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Deret

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{6+4\sqrt{3}}+{\dots}+\frac{1}{990+100\sqrt{99}}\end{aligned}

dapat direpresentasikan dalam bentuk notasi sigma:

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{99}\,\frac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}\end{aligned}

Kita sederhanakan rumus suku ke-k tersebut.

\begin{aligned}&\frac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}\\&=\frac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}\times\frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}\\&=\frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{k^2(k+1)-(k+1)^2k}\\&=\frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)\left(k-(k+1)\right)}\\&=\frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)(-1)}\\&=\frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)}\\&=\frac{(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)}-\frac{k\sqrt{k+1}}{k(k+1)}\\&=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{6+4\sqrt{3}}+{\dots}+\frac{1}{990+100\sqrt{99}}\\&{=\ }\sum_{k=1}^{99}\,\frac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}\\&{=\ }\sum_{k=1}^{99}\,\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\\&{=\ }\sum_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k}}\ -\ \sum_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k+1}}\\&\quad\rightarrow{\textsf{Ubah indeks sigma.}}\\&\quad\rightarrow k=1..99\Rightarrow k+1=2..100\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\sum_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k}}\ -\ \sum_{k=\bf2}^{\bf100}\frac{1}{\sqrt{k}}\\&{=\ }\left(\frac{1}{\sqrt{1}}+\cancel{\sum_{k=2}^{99}\frac{1}{\sqrt{k}}}\right)-\left(\cancel{\sum_{k=2}^{99}\frac{1}{\sqrt{k}}}+\frac{1}{\sqrt{100}}\right)\\&{=\ }1-\frac{1}{10}\,=\,\boxed{\,\bf\frac{9}{10}\,}\\&\blacksquare\end{aligned}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 12 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>