1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Ayo kuis (xiii)Tentukan hasil dari :[tex]\displaystyle\tt\frac{2\:ln(2)+ln\left(\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}...}}}\right)}{-ln\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}...}}}\right)}[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Ayo kuis (xiii)Tentukan hasil dari :

\displaystyle\tt\frac{2\:ln(2)+ln\left(\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}...}}}\right)}{-ln\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}...}}}\right)}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&\frac{2\ln(2)+\ln\left(\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}{\,\dots}}}}\right)}{-\ln\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}{\,\dots}}}}\right)}\\&=\large\text{$\boxed{\,\bf-1\,}$}\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan menentukan nilai dari

\begin{aligned}\frac{2\ln(2)+\ln\left(\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}{\,\dots}}}}\right)}{-\ln\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}{\,\dots}}}}\right)}\\\end{aligned}

Pertama-tama, ambil adanb sedemikian rupa sehingga:

\begin{aligned}a&=\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}{\,\dots}}}}\\b&=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}{\,\dots}}}}\end{aligned}

Maka, nilai yang kita cari dapat dinyatakan oleh:

\begin{aligned}&\frac{2\ln(2)+\ln a}{-\ln b}\\&=\frac{\ln4+\ln a}{-\ln b}\\&=-\frac{\ln (4a)}{\ln b}\,,\ a > 0,\ 0 < b < 1\ \land\ b > 1\\\end{aligned}

Untuk a:

\begin{aligned}&a=\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-\frac{1}{4\sqrt3}{\,\dots}}}}\\&{\Rightarrow\ }a=\frac{1}{4\sqrt3}\cdot\sqrt{5-a}\\&{\Rightarrow\ }4a\sqrt{3}=\sqrt{5-a}\\&{\Rightarrow\ }48a^2=5-a\\&{\Rightarrow\ }48a^2+a-5=a\\&{\Rightarrow\ }16a(3a)+16a-15a-5=0\\&{\Rightarrow\ }16a(3a+1)-5(3a+1)=0\\&{\Rightarrow\ }(16a-5)(3a+1)=0\\&{\Rightarrow\ }a=\frac{5}{16}\ \lor\ a=-\frac{1}{3}\\\end{aligned}
\begin{aligned}&a > 0\ \Rightarrow\ a=\bf\frac{5}{16}\\&{\Rightarrow\ }4a=\bf\frac{5}{4}\end{aligned}

Untuk b:

\begin{aligned}&b=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+\frac{1}{2}{\,\dots}}}}\\&{\Rightarrow\ }b=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5+b}\\&{\Rightarrow\ }2b=\sqrt{5+b}\\&{\Rightarrow\ }4b^2=5+b\\&{\Rightarrow\ }4b^2-b-5=0\\&{\Rightarrow\ }4b(b)+4b-5b-5=0\\&{\Rightarrow\ }4b(b+1)-5(b+1)=0\\&{\Rightarrow\ }(4b-5)(b+1)=0\\&{\Rightarrow\ }b=\frac{5}{4}\ \lor\ b=-1\\&0 < b < 1\ \land\ b > 1\\&\Rightarrow\ b=\bf\frac{5}{4}\end{aligned}

Karena 4a = b, diperoleh:

\begin{aligned}&\frac{2\ln(2)+\ln a}{-\ln b}\\&=-\frac{\cancel{\ln (4a)}}{\cancel\ln b}\\&=\boxed{\bf-1}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 16 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>