Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita perlu menggunakan metode integrasi faktor. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Identifikasi faktor pengali (integrating factor)

  Integrating factor didefinisikan sebagai fungsi yang dikalikan dengan seluruh persamaan diferensial sehingga persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih mudah diintegralkan. Faktor pengali biasanya diberikan oleh persamaan e^(integral dari koefisien x pada persamaan differensial) atau e^(integral dari koefisien y pada persamaan differensial).

  Dalam kasus ini, faktor pengali dapat ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan faktor pengali yang belum diketahui, yaitu exp(integral dari koefisien x pada persamaan), sehingga persamaan diferensial menjadi:

  exp(integral dari x) * (xy - x)dx + exp(integral dari x) * (xy + y)dy = 0

  Koefisien x pada persamaan adalah 1, sehingga integral dari koefisien x adalah x. Maka, faktor pengali adalah exp(x).

2. Kalikan kedua sisi persamaan dengan faktor pengali

  Setelah faktor pengali ditemukan, kalikan kedua sisi persamaan dengan faktor pengali tersebut, sehingga persamaan diferensial menjadi:

  exp(x) * (xy - x)dx + exp(x) * (xy + y)dy = 0

3. Integralkan kedua sisi persamaan

  Integralkan kedua sisi persamaan dengan menganggap x sebagai konstanta dalam integral terhadap y dan menganggap y sebagai konstanta dalam integral terhadap x, sehingga:

  exp(x) * ∫(xy - x)dx + exp(x) * ∫(xy + y)dy = C

  Integral dari (xy - x)dx dengan menganggap y sebagai konstanta adalah:

  (1/2) * x^2 * y - x^2/2 + h(y)

  dimana h(y) adalah konstanta integrasi yang hanya bergantung pada variabel y.

  Integral dari (xy + y)dy dengan menganggap x sebagai konstanta adalah:

  (1/2) * x^2 * y + x * y + g(x)

  dimana g(x) adalah konstanta integrasi yang hanya bergantung pada variabel x.

  Maka, persamaan diferensial menjadi:

  (1/2) * x^2 * y * exp(x) - x^2/2 * exp(x) + exp(x) * h(y) + (1/2) * x^2 * y * exp(x) + x * y * exp(x) + exp(x) * g(x) = C

  Gabungkan suku-suku yang serupa dan hilangkan faktor pengali exp(x), sehingga:

  x^2 * y + 2xy + x^2 - x = C * exp(-x)

  Inilah solusi umum dari persamaan diferensial ini.

Penjelasan dengan langkah-langkah: