Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

1.

a. Kita dapat membuat tabel kebenaran sebagai berikut:

p | q | ~q | p v ~q | p ==> q | ~ (p ==> q) | (p v ~q) <==> ~ (p ==> q)

-----------------------------------------------------------------------

T | T |  F |   T    |    T    |      F     |              F

T | F |  T |   T    |    F    |      T     |              F

F | T |  F |   F    |    T    |      F     |              F

F | F |  T |   T    |    T    |      F     |              F

Dari tabel kebenaran tersebut, diperoleh hasil bahwa setiap baris mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk kedua pernyataan yang diberikan. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (p v ~q) <==> ~ (p ==> q) adalah tautologi.

b. Kita juga dapat membuat tabel kebenaran sebagai berikut:

p | q | p ==> q | q ==> p | (p ==> q) v (q ==> p)

----------------------------------------------

T | T |    T    |    T    |        T

T | F |    F    |    T    |        T

F | T |    T    |    F    |        T

F | F |    T    |    T    |        T

Dari tabel kebenaran tersebut, diperoleh hasil bahwa setiap baris mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk kedua pernyataan yang diberikan. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (p ==> q) v (q ==> p) adalah tautologi.

2. Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengganti f(x) dan g(x) dengan nilai yang telah diberikan dan mencari nilai p sehingga f(g(x)) = g(f(x)). Berikut adalah langkah-langkahnya:

f(x) = 2x + p

g(x) = 3x + 120

f(g(x)) = g(f(x))

f(3x + 120) = g(2x + p)

2(3x + 120) + p = 3(2x + p) + 120

6x + 240 + p = 6x + 3p + 120

240 + p = 3p + 120

240 - 120 = 3p - p

120 = 2p

p = 60

Sehingga nilai p adalah 60.

3.

a. Kita dapat menggunakan sifat perkalian untuk menghitung hasil operasi ini dengan cepat. Misalkan kita ingin mengalikan 99 dengan 535. Kita dapat mengalikan angka 99 dengan 5 terlebih dahulu dan menambahkan angka 0 di belakangnya. Kemudian, kita dapat mengalikan angka 99 dengan 3 dan menambahkan angka 2 di belakangnya. Berikut adalah langkah-langkahnya:

99 x 5 = 495

99 x 3 = 297

Jadi, hasil dari 99 x 535 adalah 52,965.

b. Kita dapat menggunakan sifat distributif untuk menghitung hasil operasi ini dengan cepat. Berikut adalah langkah-langkahnya:

97 + 6(.734 + 3.