1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

17. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos²x-8 cosx + 4

Berikut ini adalah pertanyaan dari montero46 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

17. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos²x-8 cosx + 4 = sin² x pada interval -90° ≤x≤180° adalah....a. {-30°,30°)
b. {-45°, 45°)
c. {-60°, 60°)
d. {-75°,75°)
e. {-90°,90°}​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

\boxed{\sf{C.\: HP = [-60\degree, 60\degree]}}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui persamaan

  • \sf{ 3\cos^2{x}-8\cos{x}+4=\sin^2{x} }

Ditanya himpunan penyelesaian (HP) pada interval \sf{-90\degree \leqslant x \leqslant 180\degree }

Untuk persamaan di atas bisa diubah menjadi:

\sf{ 3\cos^2{x}-8\cos{x}+4=\sin^2{x}}

\sf{ 3\cos^2{x}-8\cos{x}+4=\underbrace{1-\cos^2{x}}_{\underset{Identitas}{\sin^2{x}+\cos^2{x}=1}}}

\sf{ 4\cos^2{x}-8\cos{x}+3=0 }

Misal untuk \sf{\cos{x} = a,} maka:

\sf{ 4a^2-8a+3=0 }

Persamaan difaktorkan

\sf{ \frac{1}{4}(4a-6)(4a-2)=0 }

\sf{ (a- \frac{3}{2})(4a-2)=0 }

\sf{a= \frac{3}{2} \:atau \: a= \frac{1}{2} }

Jadi:

\sf{\cos{x} = \frac{3}{2} \:\:\:\:\: atau \:\:\:\:\: \cos{x} = \frac{1}{2} }

Dari sini pilih yang punya nilai setengah, karena untuk \sf{\cos } nilainya nggak bisa lebih dari satu:

\sf{\cos{x}= \frac{1}{2} \longrightarrow \cos{x} = \cos{60\degree} }

______________________________

\sf{ x = x + k \cdot 360\degree }

\sf{ x = 60\degree + 0 = \boxed{60\degree} \leftarrow k=0 }

\sf{ x = 60\degree + 1 \cdot 360\degree = 420\degree \leftarrow k=1 }

\sf{ x = -x + k \cdot 360\degree }

\sf{ x = -60\degree + 0 = \boxed{-60\degree} \leftarrow k=0 }

\sf{ x = -60\degree + 1 \cdot 360\degree = 300\degree \leftarrow k=1 }

______________________________

Untuk interval \sf{-90\degree \leqslant x \leqslant 180\degree, } nilai-nilai dari persamaan yang memenuhi adalah -60° dan 60°

\sf{\therefore HP = [-60\degree, 60\degree] }

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh yayang501 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 02 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>