Jawaban:

Untuk mencari nilai konstanta c pada fungsi kepadatan peluang f(x), kita perlu memastikan bahwa total luas di bawah kurva f(x) antara rentang 1 hingga 4 adalah sama dengan 1 (karena fungsi kepadatan peluang harus memiliki total probabilitas 1).

Total luas di bawah kurva f(x) dapat dihitung dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang dari 1 hingga 4:

∫[1,4] (2x^2 + 2x) dx

Kita dapat mengintegrasikan masing-masing suku secara terpisah:

∫[1,4] 2x^2 dx + ∫[1,4] 2x dx

Pertama, kita integralkan 2x^2:

∫[1,4] 2x^2 dx = [²/³x³] [1,4] = (2/³ * 4³) - (2/³ * 1³) = 128/³ - 2/³ = 126/³

Kedua, kita integralkan 2x:

∫[1,4] 2x dx = [x²] [1,4] = (4²) - (1²) = 16 - 1 = 15

Total luas di bawah kurva f(x) adalah:

∫[1,4] (2x^2 + 2x) dx = 126/³ + 15 = 126/³ + 45/3 = 171/³

Untuk memastikan total luas di bawah kurva f(x) sama dengan 1, kita harus membagi fungsi kepadatan peluang dengan total luas tersebut:

f(x) / c = (2x^2 + 2x) / (171/³)

Karena f(x) = ²x² + ²x, kita dapat menulisnya sebagai:

²x² + ²x = c * (2x^2 + 2x) / (171/³)

Dengan menyamakan koefisien masing-masing suku, kita dapat mencari nilai c:

2 = c * 2 / (171/³)

Mengalikan kedua sisi dengan (171/³) / 2:

c = 2 * (171/³) / 2 = 171/³

Sehingga nilai konstanta c adalah 171/³.