1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Yang bisa tolong dong ​

Berikut ini adalah pertanyaan dari herawatipuspitasari4 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Yang bisa tolong dong ​
Yang bisa tolong dong ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Solusi dari \frac{d^2y}{dt^2}+8\frac{dy}{dt}+3y=4tadalah\boldsymbol{y=C_1e^{(-4+\sqrt{13})t}+C_2e^{(-4-\sqrt{13})t}+\frac{4}{3}t-\frac{32}{9} }.

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial (PD) orde 2 non homogen mempunyai bentuk :

\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}+y=r(x)

Dengan r(x)\neq 0. JIka r(x)=0maka disebutPD orde 2 homogen.

PD ini memiliki 2 solusi, yaitu :

1. Solusi PD homogen y_h.

2. Solusi PD non homogen y_p.

Sehingga solusi total dari PD orde 2 non homogen adalah y=y_h+y_p

Untuk solusi PD homogen y_h ada 3 kemungkinan :

1. Jika akar akarnya real dan berbeda maka y_h=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}

2. Jika akarnya real dan kembar maka y_h=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}

3. Jika akarnya imajiner maka y_h=e^{ux}(C_1coswx+C_2sinwx)

Untuk solusi PD non homogen y_p disesuaikan dengan bentuk fungsi r(x) nya. Jika r(x) = x^n, maka y_p=Ax^n+Bx^{n-1}+Cx^{n-2}+...

.

DIKETAHUI

\frac{d^2y}{dt^2}+8\frac{dy}{dt}+3y=4t

.

DITANYA

Tentukan solusinya.

.

PENYELESAIAN

\frac{d^2y}{dt^2}+8\frac{dy}{dt}+3y=4t

> Mencari Solusi PD homogen.

Persamaan karakteristiknya adalah :

r^2+8r+3=0

Nilai akar akarnya dapat dicari dengan rumus abc, dimana :

a = 1

b = 8

c = 3

.

r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

r_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4(1)(3)}}{2(1)}

r_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{52}}{2}

r_{1,2}=\frac{-8\pm2\sqrt{13}}{2}

r_{1,2}=-4\pm\sqrt{13}

r_1=-4+\sqrt{13}

r_2=-4-\sqrt{13}

.

Karena akar akarnya real dan berbeda, maka solusi homogenya adalah :

y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}

y_h=C_1e^{(-4+\sqrt{13})t}+C_2e^{(-4-\sqrt{13})t}

.

> Mencari Solusi PD non homogen.

Karena r(t)=4tmaka kita pilihy_p=At+B.

.

y_p=At+B

y_p'=A

y_p''=0

.

Kita substitusikan kembali ke soal.

\frac{d^2y}{dt^2}+8\frac{dy}{dt}+3y=4t

0+8A+3(At+B)=4t

8A+3At+3B=4t

3At+(8A+3B)=4t

.

Dengan menyamakan variabel di kedua ruas, kita peroleh :

3A=4

A=\frac{4}{3}

.

8A+3B=0

B=-\frac{8}{3}A

B=-\frac{8}{3}(\frac{4}{3})

B=-\frac{32}{9}

.

Sehingga solusi totalnya adalah :

y=y_h+y_p

y=C_1e^{(-4+\sqrt{13})t}+C_2e^{(-4-\sqrt{13})t}+At+B

y=C_1e^{(-4+\sqrt{13})t}+C_2e^{(-4-\sqrt{13})t}+\frac{4}{3}t-\frac{32}{9}

.

KESIMPULAN

Solusi dari \frac{d^2y}{dt^2}+8\frac{dy}{dt}+3y=4tadalah\boldsymbol{y=C_1e^{(-4+\sqrt{13})t}+C_2e^{(-4-\sqrt{13})t}+\frac{4}{3}t-\frac{32}{9} }.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37241380
  2. PD eksak : yomemimo.com/tugas/29348546
  3. PD variabel terpisah : yomemimo.com/tugas/30213037

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, orde dua, non homogen, solusi.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 22 Mar 21
<< Previous Post
Next Post >>