Diberikan himpunan tak kosong X dan f: X → R

Berikut ini adalah pertanyaan dari stasia6 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diberikan himpunan tak kosong X dan f: X → R mempunyai range terbatas di R. Jika a E R,tunjukkan bahwa:
inf {a + f(x): x € X} = a + inf{f(x): x € X}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diberikan himpunan tak kosong $X$ dan $f:X\mapsto\mathbb{R}$ mempunyai range terbatas di $\mathbb{R}$ . Jika $a\in\mathbb{R}$ , maka:
$\inf\{a+f(x):x \in X\}=a+\inf\{f(x):x\in X\}$
 

Pembahasan

Misalkan $a+f(X)=\{a+f(x):x \in X\}$ dan $f(X)=\{f(x):x\in X\}$ .

Pertama-tama, jelas bahwa $a+f(X)\subseteq\mathbb{R}$ .

Karena $f:X\mapsto\mathbb{R}$ mempunyai range terbatas, jelas pula bahwa $f(X)$ memiliki infimum.

Demikian pula, $a$ adalah suatu nilai dalam $\mathbb{R}$ , sehingga jelas bahwa $a$ terbatas, yang mengakibatkan $a+f(X)$ terbatas dan memiliki infimum.

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa $\inf\left(a+f(X)\right)=a+\inf\left(f(X)\right)$ .

Sifat infimum $f(X)$ memberikan $f(x) \ge \inf\left(f(X)\right),\ \forall\,f(x)\in f(X)$ . Hal ini mengakibatkan untuk setiap $a+f(x) \in a+\inf\left(f(X)\right)$ , $a+f(x) \ge a+\inf\left(f(X)\right)$ .
Oleh karena itu, $a+\inf\left(f(X)\right)$ adalahbatas bawahdari $a+\inf\left(f(X)\right)$ .
Misalkan terdapat $r$ sedemikian rupa sehingga $r > a+\inf\left(f(X)\right)$ , maka $r-a > \inf\left(f(X)\right)$ . Sifat infimum $f(X)$ menyebabkan terdapat $f(x_0) \in f(X)$ sedemikian rupa sehingga $f(x_0) < r-a$ . Dengan kata lain, terdapat $a+f(x_0) \in a+f(X)$ sedemikian rupa sehingga $a+f(x_0) < a+(r-a)=r\implies a+f(x_0) < r$ .
Karena $a+\inf\left(f(X)\right) < r < a+f(x_0)$ , maka $a+\inf\left(f(X)\right)$ adalahbatas bawahdari $a+\inf\left(f(X)\right)$ .