Kuis: SUPER SUSAH Akar persamaan (k+2)x²-(k+3)x+(k+1) = 0 adalah 6 kali akar

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis: SUPER SUSAHAkar persamaan (k+2)x²-(k+3)x+(k+1) = 0
adalah 6 kali akar yang lain, sehingga nilai
$\rm~k=\frac{1}{p}~(q~\pm~r\sqrt{s})$

Tentukan hasil dari p + q + r + s = .................

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai $p+q+r+s$ adalah79.
 

Pembahasan

Persamaan Kuadrat

Persoalan
Akar persamaan $(k+2)x^2-(k+3)x+(k+1) = 0$ adalah 6 kali akar yang lain, sehingga
$k=\dfrac{1}{p}\left(q\pm r\sqrt{s}\right)$
Tentukan hasil dari $p + q + r + s$ .

PENYELESAIAN

Ambil $a=k+2$ , $b=-(k+3)$ , dan $c=k+1$ dari persamaan kuadrat di atas.

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $\alpha$ dan $\beta$ , maka dapat kita pilih $\beta=6\alpha$ , yang memenuhi:

$\begin{aligned}&\bullet&\!\!\!\!\alpha+\beta&=-\frac{b}{a}\\&&7\alpha&=\frac{k+3}{k+2}\\&\therefore&\alpha&=\frac{k+3}{7(k+2)}\quad...(i)\\&\bullet&\alpha\beta&=\frac{c}{a}\\&&6\alpha^2&=\frac{k+1}{k+2}\\&\therefore&\alpha^2&=\frac{k+1}{6(k+2)}\quad...(ii)\\\end{aligned}$

Sehingga,

$\begin{aligned}&\alpha^2=\frac{k+1}{6(k+2)}\\&(i)\to\,(ii)\\&\Rightarrow \left(\frac{k+3}{7(k+2)}\right)^2=\frac{k+1}{6(k+2)}\\&\Rightarrow \frac{(k+3)^2}{49(k+2)^2}=\frac{k+1}{6(k+2)}\\&\Rightarrow \frac{(k+3)^2}{49(k+2)}=\frac{k+1}{6}\\&\Rightarrow 6(k+3)^2=49(k+1)(k+2)\\&\Rightarrow 6k^2+36k+54=49k^2+147k+98\\&\Rightarrow 43k^2+111k+44=0\end{aligned}$

Selanjutnya, kita serahkan pada rumus ABC untuk mencari nilai $k$ .

$\begin{aligned}k&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{1}{2a}\left(-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\right)\\\end{aligned}$

Dari persamaan kuadrat $43k^2+111k+44=0$ , jelas 111 tidak habis dibagi 2, sehingga dapat kita ambil $p=2a=2\cdot43=\bf86$ , dan $q=-b=\bf{-}111$ .

Selanjutnya, bagian akar kuadrat dari diskriminan yang sama dengan $r\sqrt{s}$ .

$\begin{aligned}r\sqrt{s}&=\sqrt{b^2-4ac}\\&{=\ }\sqrt{111^2-4(43)(44)}\\&{=\ }\sqrt{3^2(37^2)-4(37+6)(37+7)}\\&{=\ }\sqrt{9(37^2)-4(37^2+13(37)+42)}\\&{=\ }\sqrt{5(37^2)-52(37)-168}\\&{=\ }\sqrt{(185-52)(37)-168}\\&{=\ }\sqrt{133(37)-168}\\&{=\ }\sqrt{7(19)(37)-7(24)}\\&{=\ }\sqrt{7(703-24)}\\&{=\ }\sqrt{7(679)}\\&{=\ }\sqrt{7(7)(97)}\\r\sqrt{s}&{=\ }7\sqrt{97}\end{aligned}$