tolong bantu dong soal limit

Berikut ini adalah pertanyaan dari fakirilmu12 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong bantu dong soal limit

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+2x-3}+\sqrt{x^2+x-1}}{2(x+1)}$ adalah $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$ .

PEMBAHASAN

Nilai limit menuju tak hingga dari suatu fungsi rasional berbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ dapat kita cari dengan membagi fungsi tersebut dengan variabel pangkat tertingginya.

Nilai limitnya dapat ditentukan langsung juga dengan menggunakan rumus :

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+...+a_{m-1}x+a_m}{b_1x^n+b_2x^{n-1}+...+b_{n-1}x+b_n}=\left\{\begin{matrix}-\infty,~jika~m< n\\ \\\frac{a_1}{b_1},~jika~m=n \\ \\\infty,~jika~m> n\end{matrix}\right.$

DIKETAHUI

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+2x-3}+\sqrt{x^2+x-1}}{2(x+1)}=$

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

PENYELESAIAN

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+2x-3}+\sqrt{x^2+x-1}}{2(x+1)}$

$=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+2x-3}+\sqrt{x^2+x-1}}{2(x+1)}\times\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$

$=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{4x^2+2x-3}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+x-1}}{x} }{2\frac{(x+1)}{x}}$

$=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4x^2+2x-3}{x^2}}+\sqrt{\frac{x^2+x-1}{x^2}} }{2(1+\frac{1}{x})}$

$=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}}{2(1+\frac{1}{x})}$

$=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}\left ( \sqrt{4+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}} \right )}{\lim\limits_{x \to \infty} 2(1+\frac{1}{x})}$

$=\frac{\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}+\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}}{\lim\limits_{x \to \infty} 2(1+\frac{1}{x})}$

$=\frac{ \sqrt{\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 4+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2} \right )}+\sqrt{\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right )}}{\lim\limits_{x \to \infty} 2(1+\frac{1}{x})}$