Dengan menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien garis singgung kurva

Berikut ini adalah pertanyaan dari rayhanamru80 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dengan menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien garis singgung kurva y = 2x² + 3x-5 dititik (2,9) adalah...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Gradien garis singgung kurva y = 2x² + 3x - 5 di titik (2, 9) adalah 11.

Pembahasan

Gradien Garis Singgung Kurva

Menggunakan konsep limit, gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ diberikan oleh:

$\displaystyle m=\lim_{h=0}\:\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Atau, dengan kata lain, gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ ditentukan oleh turunan pertamanya pada $x=a$ , di mana $(a, f(a))$ adalah titik singgungnya.

Diketahui
Fungsi y = 2x² + 3x - 5

Ditanyakan
Gradien garis singgung di titik (2, 9)

PENYELESAIAN

Cara Pertama: Langsung Substitusi nilai absis titik singgungnya

$\begin{aligned}m&=\lim_{h=0}\:\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{2(2+h)^2+3(2+h)-5-\left(2\cdot2^2+3\cdot2-5\right)}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{2\left(2^2+4h+h^2\right)-2\cdot2^2+3(2+h)-3\cdot2-\cancel{5}+\cancel{5}}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{\cancel{2\cdot2^2}+8h+2h^2-\cancel{2\cdot2^2}+\cancel{3\cdot2}+3h-\cancel{3\cdot2}}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{8h+2h^2+3h}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{11h+2h^2}{h}\\&=\lim_{h=0}\:(11+2h)\\&=11+2\cdot0\end{aligned}$
$\begin{aligned}\therefore\ m&=\boxed{\ \bf11\ }\end{aligned}$

$\blacksquare$

Cara Kedua: Mencari Turunan Pertamanya dengan konsep limit, lalu substitusi

$\begin{aligned}m&=f'(x)\\&=\lim_{h=0}\:\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{2(x+h)^2+3(x+h)-5-\left(2x^2+3x-5\right)}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{2\left(x^2+2hx+h^2\right)+\cancel{3x}+3h-\cancel{5}-2x^2-\cancel{3x}+\cancel{5}}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{\cancel{2x^2}+4hx+2h^2+3h-\cancel{2x^2}}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{4hx+2h^2+3h}{h}\\&=\lim_{h=0}\:\frac{\cancel{h}(4x+2h+3)}{\cancel{h}}\\&=\lim_{h=0}\:4x+2h+3\\&=4x+2\cdot0+3\\&=4x+3\end{aligned}$