1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Selesaikan masalah berikut. a. Temukan rumus umum dari P(n)=1/(2x4)+1/(4x6)+1/(6x8)...+1/[2nx(2n+2)] b. buktikan dugaan

Berikut ini adalah pertanyaan dari yusufimam19 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Selesaikan masalah berikut.a. Temukan rumus umum dari P(n)=1/(2x4)+1/(4x6)+1/(6x8)...+1/[2nx(2n+2)]
b. buktikan dugaan rumus umum yang anda kemukakan pada bagian (a) dengan induksi matematika

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

a. Rumus umumdariP(n)=\frac{1}{2x4}+\frac{1}{4x6}+\frac{1}{6x8} +...+\frac{1}{2n(2n+2)} = \frac{n}{4(n+1)}

b. Pembuktian rumus umum dengan induksi matematika:

  • Langkah awal Un = Sn
  • Langkah Induksi subtitusi n=k+1, menghasilkan hasil yang sama \frac{k+1}{4(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}

Penjelasan dan Langkah-Langkah:

Induksi matematika merupakan metode penalaran yang bersifat deduktif, yang dipakai untuk melakukan pembuktian universal terkait statement matematika tertentu. Contohnya, teori graf, teori bilangan serta kombinatorika.

Terdapat 2 Langkah dalam pengerjaan induksi matematika:

  • Langkah Basis/Awal
  • Langkah Induksi

Diketahui:

P(n)=\frac{1}{2x4}+\frac{1}{4x6}+\frac{1}{6x8} +...+\frac{1}{2n(2n+2)}

Ditanya:

Rumus umum dan pembuktian melalui induksi matematika?

Pembahasan:

a. Menentukan rumus umum

Un = \frac{1}{2n(2n+2)}

Subtitusikan n=1

U1 = \frac{1}{(2x1)(2(1)+2)} = \frac{1}{8}

Sama halnya dangan U2, subtitusikan n=2

U2 = \frac{1}{24}

kemudian jumlahkan U1+U2

S2= \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{2}{12}

maka dapat kita temukan rumus Sn = \frac{n}{4(n+1)}

b. Pembuktian dengan induksi matematika

  • Langkah awal

Jika kita subtitusikan n=1, maka Un = Sn yaitu \frac{1}{8} (pernyataan benar)

Ssama halnya jika, n=3, hasilnya adalah S3 = \frac{3}{16}

Dapat kita buktikan dengan menjumlahkan U1+U2+U3 = \frac{9}{48}:3 = \frac{3}{16}

Hasilnya sama dan benar.

  • Langkah Induksi:

Subtitusikan n=k, sehingga terdapat persamaan

P(k)=\frac{1}{2x4}+\frac{1}{4x6}+\frac{1}{6x8} +...+\frac{1}{2k(2k+2)} =\frac{k}{4(k+1)}

Kemudian kita dapat membuktikannya dengan melakukan subtitusi yang kedua yaitu n=k+1.

\frac{1}{2x4}+\frac{1}{4x6}+\frac{1}{6x8} +...+\frac{1}{2(k+1)(2(k+1)+2)} =\frac{k+1}{4(k+1+1)}

\frac{1}{2x4}+\frac{1}{4x6}+\frac{1}{6x8} +...+\frac{1}{(2k+2)(2k+4)} =\frac{k+1}{4(k+2)}\\\frac{1}{2x4}+\frac{1}{4x6}+\frac{1}{6x8} +...+\frac{1}{2(k+1)2(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}

Karena kita tahu bahwa \frac{1}{2x4}+\frac{1}{4x6}+\frac{1}{6x8} +...=\frac{k}{4(k+1)}, maka kita subtitusikan:

\frac{k}{4(k+1)} +\frac{1}{2(k+1)2(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}\\\frac{k}{4(k+1)} +\frac{1}{4(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}\\\frac{k(k+2)}{4(k+1)(k+2)} +\frac{1}{2(k+1)2(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}\\\frac{k(k+2)+1}{4(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}\\\frac{k^2+2k+1}{4(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}\\\frac{(k+1)(k+1)}{4(k+1)(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)} \\\frac{k+1}{4(k+2)} =\frac{k+1}{4(k+2)}(pernyataan benar)

Pelajari lebih lanjut

Pelajari lebih lanjut materi mengenai induksi matematika pada yomemimo.com/tugas/17943619

#BelajarBersamaBrainly #SPJ1

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh debyharfiani dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 30 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>