Misallan fungsi f memenuhi f(x+5) = f(x) untuk tiap x

Berikut ini adalah pertanyaan dari bismillahbelajar pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Misallan fungsi f memenuhi f(x+5) = f(x) untuk tiap x € R. Jika 1∫⁵ f(x)dx = 3 dan -5∫-⁴ f(x) dx = -2, maka 5∫¹⁵ f(x)dx = ...A. 10
B. 6
C. 5
D. 2
E. 1

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari $\int\limits^{15}_5 {f(x)} \, dx$ adalahD. 2.

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx$

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :

$(i)~\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C,~~~dengan~C=konstanta$

$(ii)~\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx$

$(iii)~\int\limits {\left [ f(x)\pm g(x) \right ]} \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx$

Untuk fungsi peiodik dimana berlaku $f(x)=f(x+k)$ dengan k ≠ 0, integral fungsi memiliki sifat khusus, yaitu :

$\int\limits^{b+k}_{a+k} {x} \, dx=\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

DIKETAHUI

$f(x+5)=f(x)$

$\int\limits^5_1 {f(x)} \, dx=3$

$\int\limits^{-4}_{-5} {f(x)} \, dx=-2$

DITANYA

Tentukan nilai dari $\int\limits^{15}_5 {f(x)} \, dx$

PENYELESAIAN

Karena $f(x+5)=f(x)$ , maka f(x) termasuk fungsi periodik dengan k = 5. Kita selesaikan dengan menggunakan sifat khusus pada integral fungsi periodik.

$\int\limits^{-4}_{-5} {f(x)} \, dx=-2$

$\int\limits^{-4+5}_{-5+5} {f(x)} \, dx=-2$