1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan f(x)=cot x

Berikut ini adalah pertanyaan dari Titayl pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan f(x)=cot x adalah f'=-csc² x, plis bntuin dong​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti bahwa turunan dari f(x)=cotxadalah\boldsymbol{f'(x)=-csc^2x}.

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Turunan didefinisikan sebagai berikut :

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Selain menggunakan definisi, turunan dari sautu fungsi f(x) dapat kita cari juga dengan menggunakan rumus - rumus berikut ini.

(i)~y=ax^k~~\to~~y'=kax^{k-1}

(ii)~y=f(x)\pm g(x)~~\to~~y'=f'(x)\pm g'(x)

(iii)~y=f(x)g(x)~~\to~~y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

(iv)~y=\frac{f(x)}{g(x)}~~\to~~y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Rumus turunan untuk fungsi trigonometri :

(i)~y=sinax~~\to~~y'=acosax

(ii)~y=cosax~~\to~~y'=-asinax

(iii)~y=tanax~~\to~~y'=asec^2ax

.

DIKETAHUI

Turunan dari f(x)=cotxadalahf'(x)=-csc^2x.

.

DITANYA

Buktikan rumus turunan fungsi tersebut.

.

PENYELESAIAN

> Menggunakan definisi turunan.

f(x)=cotx

f(x)=\frac{1}{tanx}

.

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{tan(x+h)}-\frac{1}{tanx}}{h}

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{tanx-tan(x+h)}{tan(x+h)tanx}}{h}

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{tanx-\left ( \frac{tanx+tanh}{1-tanx.tanh} \right )}{htan(x+h)tanx}

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{tanx(1-tanx.tanh)-tanx-tanh}{1-tanx.tanh}}{h\left ( \frac{tanx+tanh}{1-tanx.tanh} \right )tanx}

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{tanx-tan^2x.tanh-tanx-tanh}{htanx(tanx+tanh)}

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{-tanh(tan^2x+1)}{htanx(tanx+tanh)}

f'(x)= \lim_{h \to 0} -\frac{tanh}{h} \times\lim_{h \to 0}\frac{tan^2x+1}{(tanx+tanh)tanx}

f'(x)=-1\times\frac{tan^2x+1}{(tanx+tan0)tanx}

f'(x)=-\frac{tan^2x+1}{(tanx+0)tanx}

f'(x)=-\frac{tan^2x-1}{tan^2x}

f'(x)=-(1+cot^2x)

f'(x)=-csc^2x~(\boldsymbol{terbukti})

.

> Menggunakan rumus turunan.

f(x)=cotx

f(x)=\frac{cosx}{sinx}

.

Misal :

u=cosx~\to~u'=-sinx

v=sinx~\to~v'=cosx

.

Maka :

f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}

f'(x)=\frac{-sinx(sinx)-cosx(cosx)}{sin^2x}

f'(x)=\frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}

f'(x)=\frac{-(sin^2x+cos^2x)}{sin^2x}

f'(x)=-\frac{1}{sin^2x}

f'(x)=-csc^2x~(\boldsymbol{terbukti})

.

KESIMPULAN

Terbukti bahwa turunan dari f(x)=cotxadalah\boldsymbol{f'(x)=-csc^2x}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Turunan bentuk u/v : yomemimo.com/tugas/34666009
  2. Turunan menggunakan definisi limit : yomemimo.com/tugas/37256842
  3. Turunan fungsi trigonometri : yomemimo.com/tugas/29244440

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Turunan

Kode Kategorisasi: 11.2.9

Kata Kunci : definisi, turunan, fungsi, trigonometri.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 26 Apr 21
<< Previous Post
Next Post >>