1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini a.

Berikut ini adalah pertanyaan dari rizkiprtama20002 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini a. √3+√5 +√7 * $ * ... Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini a . √3 + √5 + √7 * $ * ...​
Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini a. √3+√5 +√7 * $ * ... Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian deret berikut ini a . √3 + √5 + √7 * $ * ...​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{9}}+{\dots}\end{aligned}
DIVERGEN.
 

Pembahasan

Uji Integral Deret Tak Hingga

Diberikan deret tak hingga:

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{9}}+{\dots}\end{aligned}

Kita akan menyelediki kekonvergenan deret tersebut dengan uji integral.

\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{9}}+{\dots}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\\&\implies f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\\&\qquad\quad{\sf pada\ selang\ }\left[1,\ \infty\right)\end{aligned}

f(x) kontinu, positif, dan tidak naik pada selang \left[1,\ \infty\right).

Oleh karena itu, deret tak hingga
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}
konvergen, jika dan hanya jika integral tak wajar
\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)\,dx
konvergen.

\begin{aligned}&\int_1^{\infty}f(x)\,dx\\&=\lim_{t\to\infty}\:\int_1^{t}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\,dx\\&\ \left[\ \begin{aligned}&u=2x+1\\&\Rightarrow du=2\,dx\\&\Rightarrow dx=\frac{1}{2}\,du\end{aligned}\right.\\&=\lim_{t\to\infty}\:\int_{x=1}^{x=t}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du\\&=\lim_{t\to\infty}\:\frac{1}{2}\int_{x=1}^{x=t}\frac{1}{\sqrt{u}}\,du\end{aligned}
\begin{aligned}&=\lim_{t\to\infty}\:\frac{1}{2}\left[\frac{u^{-1/2\:+\:1}}{-1/2\:+\:1}\right]_{x=1}^{x=t}\\&=\lim_{t\to\infty}\:\frac{1}{2}\left[\frac{u^{1/2}}{1/2}\right]_{x=1}^{x=t}\\&=\lim_{t\to\infty}\:\frac{1}{2}\Big[2\sqrt{u}\Big]_{x=1}^{x=t}\\&=\lim_{t\to\infty}\:\Big[\sqrt{u}\Big]_{x=1}^{x=t}\\&=\lim_{t\to\infty}\:\Big[\sqrt{2x+1}\Big]_1^{t}\\&=\lim_{t\to\infty}\:\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3}\right)\\&=\infty\implies\sf divergen\end{aligned}
 

KESIMPULAN

∴  Karena dari uji integral diperoleh integral yang divergen, maka deret
\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{9}}+{\dots}\end{aligned}
DIVERGEN.

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 27 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>