Jawaban:

Range dari fungsi f(x) = x² - 4x + 5 dengan D_f

f

= {x | 1 < x < 5, x ∈ R} adalah....

PENDAHULUAN

Dalam dunia matematika, fungsi adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan kodomain).

Berikut adalah istilah-istilah yang biasa digunakan ketika mempelajari himpunan:

Domain adalah daerah asal

Kodomain adalah daerah kawan

Range adalah daerah hasil

Jadi misalnya ada pemetaan A ke B seperti pada gambar di lampiran. Maka:

Domain atau daerah asalnya adalah himpunan A = {1, 2, 3}

Kodomain atau daerah kawannya adalah himpunan B = {a, b}

Range atau daerah hasilnya = {b}. a bukan elemen daerah hasil karena tidak bertautan dengan himpunan A.

Jika D_f

f

berupa bilangan, maka untuk mencari R_f

f

silakan subtitusi nilai-nilai pada domain. Jika D_f

f

berupa interval bilangan, tidak perlu mensubtitusi semua nilai, kita cukup mensubtitusi nilai-nilai ekstrim. Yang termasuk nilai ekstrim adalah:

Batas bawah (jika ada dan bukan ∞)

Batas atas (Jika ada dan bukan ∞)

Titik belok (Jika ada)

Sumbu simetri (Jika ada). Rumus mencari sumbu simetri pada fungsi kuadrat: x=-\frac{b}{2a}x=−

2a

b

Catatan tambahan: Fungsi polinomial yang memiliki titik belok adalah fungsi dengan orde/pangkat tertinggi ≥ 3.

PEMBAHASAN

DIKETAHUI

f(x) = x² - 4x + 5

D_f

f

= {x | 1 < x < 5, x ∈ R}

DITANYA

R_f

f

= ?

PENYELESAIAN

Karena fungsi f(x) = x² - 4x + 5 adalah fungsi kuadrat, maka titik ekstrimnya adalah:

Batas bawah (x = 1)

Batas atas (x = 5)

Sumbu simetri x = -\frac{b}{2a}

2a

b

= -\frac{-4}{2 \times 1}

2×1

−4

= 2

Mencari y pada x = 1

y = f(1)

f(1) = (1)² - 4(1) + 5

f(1) = 1 - 4 + 5

f(1) = 2

Mencari y pada x = 5

y = f(5)

f(5) = (5)² - 4(5) + 5

f(5) = 25 - 20 + 5

f(5) = 10

Mencari y pada x = 2

y = f(2)

f(2) = (2)² - 4(2) + 5

f(2) = 4 - 8 + 5

f(1) = 1

Dari jawaban di atas diperoleh informasi sebagai berikut:

Nilai yang bersesuaian (1, 2), (2, 1) dan (5, 10)

y minimum = 1 pada x = 2 (terdapat di dalam interval)

y maksimum = 10 pada x = 5 sedangkan 5 tidak masuk dalam interval (lihat tanda pertidaksamaan pada domain fungsi)

Maka R_f

= {y | 1 ≤ y < 5}

KESIMPULAN

Range dari fungsi f(x) = x² - 4x + 5 dengan D_f

f

= {x | 1 < x < 5, x ∈ R} adalah R_f

f

= {y | 1 ≤ y < 5}.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

semoga bermanfaat bagi kalian semua