Materi: Persamaan Diferensial

Jawaban:

Saya bantu nomor 2 dan 4 saja y

Penjelasan dengan langkah-langkah:

2. y'' - 4y' + 4y = 0, y(0)= 2 dan y'(0)= 1

Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial orde 2 homogen, kita terlebih dahulu harus mencari nilai deskriminan pada persamaan karakteristiknya. Karena PD orde 2, maka persamaan karakteristiknya:

\begin{gathered}y''-4y'+4y=0\\m^2-4m+4=0\end{gathered}

y

′′

−4y

′

+4y=0

m

2

−4m+4=0

D = (-4)^2 - 4(1)(4)

D = 16 - 16

D = 0

Karena deskriminannya 0, maka akar karakteristiknya adalah akar ganda (kembar) sehingga tebakan solusinya:

y=C_1e^{mx}+C_2xe^{mx}y=C

1

e

mx

+C

2

xe

mx

Selanjutnya selesaikan persamaan karakteristiknya.

\begin{gathered}m^2-4m+4=0\\{(m-2)}^2=0\\m=2\end{gathered}

m

2

−4m+4=0

(m−2)

2

=0

m=2

Jadi, solusi umumnya adalah:

y=C_1e^{2x}+xC_2e^{2x}y=C

1

e

2x

+xC

2

e

2x

Solusi khususnya dapat dicari dengan mensubstitusi nilai yang diketahui.

Karena y(0) = 2, maka:

\begin{gathered}2=C_1e^0+0.C_2e^0\\2=C_1\end{gathered}

2=C

1

e

0

+0.C

2

e

0

2=C

1

Karena y'(0) = 1, maka:

\begin{gathered}y'=2C_1e^{2x}+C_2e^{2x}+2xC_2e^{2x}\\1=2(2)e^0+C_2e^0+2(0)C_2e^0\\1=4+C_2\\C_2=-3\end{gathered}

y

′

=2C

1

e

2x

+C

2

e

2x

+2xC

2

e

2x

1=2(2)e

0

+C

2

e

0

+2(0)C

2

e

0

1=4+C

2

C

2

=−3

Jadi, solusi khususnya:

\boxed{y=2e^{2x}-3xe^{2x}}

y=2e

2x

−3xe

2x

4. xy' + 3xy = x ln x

Kalikan dengan 1/x di kedua ruas terlebih dahulu, maka persamaan menjadi:

y' + 3y = ln x

Untuk menyelesaikan ini, terdapat beberapa cara, yaitu:

1) Cara PD linear orde 1

2) Cara kombinasi faktor integrasi dan eksak

3) Cara Bernoulli

4) Cara Langrange

5) Cara Laplace

Kali ini saya akan memilih cara Bernoulli saja.

Menyelesaikan PD dengan cara Bernoulli dapat dilakukan dengan mensubstitusi y = u.v dan y' = u'v + uv' kedalam PDnya.

y' + 3y = ln x

u'v + uv' + 3u.v = ln x

u'v + 3u.v + uv' = ln x

v(u' + 3u) + uv' = ln x

Anggap bahwa u' + 3u = 0, maka uv' = ln x. Selanjutnya kita selesaikan u' + 3u = 0.

\begin{gathered}u'+3u=0\\\frac{du}{dx}=-3u\\\frac{1}{u}\,du=-3\,dx\\\int{\frac{1}{u}\,du}=\int{-3\,dx}\\\ln{u}=-3x\\u=e^{-3x}\end{gathered}

u

′

+3u=0

dx

du

=−3u

u

1

du=−3dx

∫

u

1

du=∫−3dx

lnu=−3x

u=e

−3x

Setelah u didapatkan, selanjutnya kita bisa langsung mencari solusi dari uv' = ln x.

\begin{gathered}uv'=\ln{x}\\e^{-3x}\frac{dv}{dx}=\ln{x}\\dv=e^{3x}\ln{x}\,dx\\\int{dv}=\int{e^{3x}\ln{x}\,dx}\\v=\int{e^{3x}\ln{x}\,dx}\end{gathered}

uv

′

=lnx

e

−3x

dx

dv

=lnx

dv=e

3x

lnxdx

∫dv=∫e

3x

lnxdx

v=∫e

3x

lnxdx

Perhatikan, dikarenakan integral dari e^(3x) ln x merupakan integral fungsi khusus, maka:

\begin{gathered}v=\int{e^{3x}\ln{x}\,dx}\\v=\frac{1}{3}e^{3x}\ln{x}-\frac{1}{3}E_i(3x)+C\end{gathered}

v=∫e

3x

lnxdx

v=

3

1

e

3x

lnx−

3

1

E

i

(3x)+C

Jadi, solusinya:

\begin{gathered}y=e^{-3x}\left(\frac{1}{3}e^{3x}\ln{x}-\frac{1}{3}E_i(3x)+C\right)\\y=\frac{1}{3}\ln{x}-\frac{1}{3}E_i(3x)e^{-3x}+Ce^{-3x}\end{gathered}

y=e

−3x

(

3

1

e

3x

lnx−

3

1

E

i

(3x)+C)

y=

3

1

lnx−

3

1

E

i

(3x)e

−3x

+Ce

−3x

Semoga membantu