bantu yaa kakk 1 soall

Berikut ini adalah pertanyaan dari officiallinda04 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bantu yaa kakk 1 soall

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Nilai} \: \: k \: \: \text{yang memenuhi adalah} \: \: \: \boxed{k = 1} \: \: \text{atau} \: \: \boxed{k = - \frac{5}{6}} \: \: \: .\\$

Pembahasan

Fungsi invers adalah fungsi balikan atau balikan dalam bentuk fungsi.

$\text{Jika fungsi} \: \: y = f(x) \: \: \text{maka fungsi inversnya adalah} \: \: f^{- 1}(x) \\ \\$

$\boxed{\boxed{f(x) = ( {g}^{ - 1} \circ g \circ f)(x)}} \\ \\$

Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi aljabar pada dua fungsi atau lebih sehingga menjadi satu fungsi baru.

$\boxed{(f \circ g \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x))} \\ \\ \boxed{(f \circ g)(x) = f(g(x))} \\ \\$

Diketahui :

$g(x) = 2 {x}^{2} - 5x \\ \\ (g \circ f)(x) = 18 {x}^{2} - 3x - 3 \\ \\ f(k) = 4 \\ \\$

Ditanya :

$\text{Nilai} \: \: k \\ \\$

Jawab :

Supaya tidak ambigu maka f(x) = 4di soal diasumsikan denganf(k) = 4 .

$\text{Misal} \: \: y = g(x) \\ \\ y = 2 {x}^{2} - 5x \\ \\ y = 2( {x}^{2} - \frac{5}{2}x) \\ \\ y = 2 \left( \left(x - \frac{5}{4} \right)^{2} - \frac{25}{16} \right) \\ \\ \frac{y}{2} = \left(x - \frac{5}{4} \right)^{2} - \frac{25}{16} \\ \\ \left(x - \frac{5}{4} \right)^{2} = \frac{y}{2} + \frac{25}{16} \\ \\ x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{ \frac{y}{2} + \frac{25}{16} } \\ \\ x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{ \frac{8y + 25}{16} } \\ \\ x = \frac{5}{4} \pm \sqrt{ \frac{8y + 25}{16} } \\ \\ \boxed{\boxed{{g}^{ - 1} (x) = \frac{5}{4} \pm \sqrt{ \frac{8x + 25}{16} }}} \\ \\$

$\: \: \: \: \: f(x) \\ \\ = ( {g}^{ - 1} \circ g \circ f)(x) \\ \\ = {g}^{ - 1} (18 {x}^{2} - 3x - 3) \\ \\ = \frac{5}{4} \pm \sqrt{ \frac{8(18 {x}^{2} - 3x - 3) + 25}{16} } \\ \\ = \frac{5}{4} \pm \sqrt{ \frac{144{x}^{2} - 24x + 1}{16} } \\ \\ = \frac{5}{4} \pm \sqrt{ \frac{(12x - 1)^{2}}{ {4}^{2} } } \\ \\ = \frac{5}{4} \pm \frac{12x - 1}{4} \\ \\$

$\boxed{f(x) = \frac{5}{4} + \frac{12x - 1}{4}} \: \: \: \text{atau} \: \: \: \boxed{f(x) = \frac{5}{4} - \frac{12x - 1}{4}} \\ \\$

$\text{Untuk} \: \: f(x) = \frac{5}{4} + \frac{12x - 1}{4} \\ \\ f(k) = \frac{5}{4} + \frac{12k - 1}{4} \\ \\ \frac{5}{4} + \frac{12k - 1}{4} = 4 \\ \\ \frac{12k + 4}{4} = 4 \\ \\ 12k + 4 = 16 \\ \\ 12k = 12 \\ \\ \boxed{k = 1} \\ \\$

$\text{Untuk} \: \: f(x) = \frac{5}{4} - \frac{12x - 1}{4} \\ \\ f(k) = \frac{5}{4} - \frac{12k - 1}{4} \\ \\ \frac{5}{4} - \frac{12k - 1}{4} = 4 \\ \\ \frac{6 - 12k}{4} = 4 \\ \\ 6 - 12k = 16 \\ \\ 12k = - 10 \\ \\ \boxed{k = - \frac{5}{6} } \\ \\$