Jawaban:

Jarak titik P ke bidang BDG adalah 2,47 cm.

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang tersusun atas 6 sisi berbentuk bujur sangkar sedemikian rupa yang membentuk sudut siku - siku di setiap pertemuan antar sisinya.

Karena tersusun dari bangun datar bujur sangkar, secara otomatis semua rusuk dalam sebuah kubus memiliki panjang yang sama sehingga memudahkan kita untuk melakukan perhitungan unsur - unsurnya, baik dengan teorema phythagoras maupun perbandingan trigonometri, terutama untuk perhitungan panjang diagonal bidang, diagonal ruang, jarak antar unsur atau nilai perbandingan trigonometrinya.

Agar lebih jelasnya, simak pembahasan soal berikut.

PEMBAHASAN :

Perhatikan kembali soal beserta gambar terlampir, lalu ikuti alur pengerjaannya.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm dengan titik P terletak pada pertengahan FH. Jarak antara titik P dengan bidang BDG adalah ...

• FH dan EG merupakan dua diagonal sisi EFGH dengan titik P sebagai titik potong keduanya sehingga EP = FP = GP = HP = ½FH. Kita akan menghitung panjang FH dengan teorema phythagoras.

FH = √(FG² + GH²)

FH = √(4² + 4²)

FH = √32

FH = 4√2 cm

Maka, EP = FP = GP = HP = ½FH = 2√2 cm.

• Tarik garis dari titik B ke titik D dan ke titik G sehingga membentuk bidang BDG. Letakkan titik Q pada pertengahan diagonal BD, lalu tarik garis tegak lurus dari titik G ke titik Q.

• Tarik garis tegak lurus dari titik P ke titik Q sehingga PQ = AE = 4 cm dan tercipta segitiga semu GPQ.

• Hitung panjang QG dengan teorema phythagoras.

QG = √(PQ² + GP²)

QG = √(4² + (2√2)²)

QG = √(16 + 8)

QG = √24

QG = 2√6 cm

• Letakkan titik R pada pertengahan QG sehingga QR = GR = ½QG = √6 cm.

• Tarik garis dari titik P ke titik R sehingga PR menjadi panjang jarak antara titik P ke bidang BDG.

• Pakai aturan cosinus untuk menentukan sudut PGQ.

a² = b² + c² - 2bc . cos A

PQ² = GP² + QG² - 2.GP.QG . cos PGQ

4² = (2√2)² + (2√6)² - 2.2√2.2√6 . cos PGQ

16 = 8 + 24 - 16√3 . cos PGQ

-16 = -16√3 . cos PGQ

cos PGQ = \frac{ - 16}{ - 16 \sqrt{3} }

−16

3

−16

cos PGQ = \frac{1}{ \sqrt{3} }

3

1

atau ⅓√3 atau 0,577

cos PGQ = cos 55°

∠PGQ = 55°

• Pakai kembali aturan cosinus untuk menentukan panjang PR.

a² = b² + c² - 2bc . cos A

PR² = GP² + GR² - 2.GP.GR . cos PGQ

PR² = (2√2)² + (√6)² - 2.2√2.√6 . 0,57

PR² = 8 + 6 - 8√3 . 0,57

PR² = 14 - 7,9

PR² = 6,1

PR = √6,1

contohnya