tanpa menggunakan alat bantu hitung rancang formula yang memenuhi pola

Berikut ini adalah pertanyaan dari ciciulandari1203 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tanpa menggunakan alat bantu hitung rancang formula yang memenuhi pola 1²+2²+3²...10² kemudian uji formula tersebut untuk menghitung 1²+2²+3²...+30²

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban

Jika kita ingin mencari rumus $1^2+2^2+...+n^2$ , kita bisa mencari formulanya dengan cara berikut

Perhatikan, dari ekspansi binomial $(k-1)^3$ didapat bahwa

$k^3-(k-1)^3 = k^3-[k^3-3k^2+3k-1]$

$= 3k^2-3k+1$

jadi, kalau kedua ruas kita coba jumlahkan untuk $k = 1,2,...,n$ didapat

$\sum_{k=1}^n k^3 - (k-1)^3 = \sum_{k=1}^n 3k^2-3k+1$ (Ф)

ruas kiri dari persamaan diatas dapat dijabarkan menjadi

$[1^3 - (1-1)^3] +[2^3 - (2-1)^3] + [3^3-(3-1)^3] + ... + [(n-1)^3 - (n-2)^3] + [n^3 - (n-1)^3]$

perhatikan : $1^3$ dapat dihilangkan oleh $(2-1)^3$ ,

$2^3$ dapat dihilangkan oleh $(3-1)^3$

$3^3$ dapat dihilangkan oleh $(4-1)^3$

....

$(n-1)^3$ dapat dihilangkan oleh $(n-1)^3$ (disebelah kanan $n^3\\$ )

maka yang tersisa dari ruas kiri hanya

$n^3 - (1-1)^3 = n^3$

sehingga persamaan (Ф) berubah menjadi

$n^3 = \sum_{k=1}^n 3k^2-3k+1$

dengan aturan sigma, kita bisa dapat

$n^3 = \sum_{k=1}^n 3k^2- \sum_{k=1}^n 3k + \sum_{k=1}^n 1$

$n^3 = 3 \sum_{k=1}^n k^2- 3 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

karena kita tahu bahwa $\sum_{k=1}^n k = n(n+1)/2$ dan $\sum_{k=1}^n 1 = n$ , maka didapatkan

$n^3 = 3 \sum_{k=1}^n k^2- [3n(n+1)/2] + n$

karena kita ingin menghitung $\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2+...+n^2$ kita ubah rumus diatas dengan manipulasi aljabar, sehingga didapat

$\sum_{k=1}^n k^2= \{n^3 + [3n(n+1)/2] - n \}/3$ .

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh faggot dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 26 Oct 22