Terdapat rumah dome( rumah tahan gempa) yang bagian atapnya berbentuk

Berikut ini adalah pertanyaan dari destinuraliyah6 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Terdapat rumah dome( rumah tahan gempa) yang bagian atapnya berbentuk Kuba setengah bola. Diperoleh informasi bahwa biaya pembuatan tembok tegak adalah Rp. 70000/m² dan biaya pembuatan tembok atap adalah Rp. 140000/m². Jika pak maman mempunyai Rp. 220.000.000 dan berencana membuat rumah dengan model yang sama. Agar rumah tersebut mempunyai volume ruang yang terbesar maka ukuran jari-jari atas adalah...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Agar rumah tersebut mempunyai volume ruang yang terbesar maka ukuran jari jari atas adalah 5√5 meter.

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Salah satu fungsi dari turunan adalah menentukan nilai minimum/maksimum dari suatu fungsi. Dimana suatu fungsi akan memiliki nilai minimum/maksimum pada saat :

$f'(x)=0$

dengan :

$f'(x)$ = turunan pertama fungsi $f(x)$

Dari $f'(x)=0$ kita akan memperoleh titik titik stasioner, misal x = a. Untuk menentukan apakah titik tersebut menyebabkan fungsi bernilai minimum atau maksimum dapat kita gunakan uji turunan kedua.

Jika $f''(a)>0$ maka x = a menyebabkan fungsi bernilai minimum.
Jika $f''(a)$ maka x = a menyebabkan fungsi bernilai maksimum.

DIKETAHUI

Rumah dome bagian atap berbentuk setengah bola. Biaya pembuatan tembok tegak adalah Rp 70.000/m² dan biaya pembuatan tembok atap adalah Rp 140.000/m². Pak Maman mempunyai Rp 220.000.000 berencana membuat rumah dengan mdoel yang sama.

DITANYA

Tentukan ukuran jari jari atas agar rumah tersebut mempunyai volume ruang terbesar.

PENYELESAIAN

Rumah dome merupakan gabungan antara bangun tabung tanpa tutup + setengah bola. Asumsikan :

- tinggi rumah = tinggi tabung = t

- jari jari rumah = jari jari atap = jari jari tabung = r

> Cari biaya total pembuatan tembok atap dan tembok tegak

Tembok atap = luas permukaan setengah bola = $2\pi r^2$

Tembok tegak = luas selimut tabung = $2\pi rt$

Maka total biaya :

$Biaya~tembok~tegak+biaya~tembok~atap=biaya~total\\\\70.000(2\pi rt)+140.000(2\pi r^2)=220.000.000\\\\14\pi rt+28\pi r^2=22.000\\\\7\pi rt+14\pi r^2=11.000\\\\7\pi rt=11.000-14\pi r^2\\\\t=\frac{11.000-14\pi r^2}{7\pi r}\\\\t=\frac{11.000}{7\pi r}-2r~~~~~~~~~~~...(i)$

> Cari volume rumah

Volume rumah adalah volume tabung + volume setengah bola.

$V(r)=Volume~tabung+~Volume~\frac{1}{2}~Bola\\\\V(r)=\pi r^2t+\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pi r^3~~~~~~~~~~...substitusi~pers.(i)\\\\V(r)=\pi r^2(\frac{11.000}{7\pi r}-2r)+\frac{2}{3}\pi r^3\\\\V(r)=\frac{11.000}{7}r-2\pi r^3+\frac{2}{3}\pi r^3\\\\V(r)=\frac{11.000}{7}r-\frac{4}{3}\pi r^3\\$

> Cari nilai r

Agar volume maksimum maka harus memenuhi $V'(x)=0$

$V(r)=\frac{11.000}{7}r-\frac{4}{3}\pi r^3\\\\V'(r)=\frac{11.000}{7}-4\pi r^2\\\\\\V'(r)=0\\\\\frac{11.000}{7}-4\pi r^2=0\\\\4\pi r^2=\frac{11.000}{7}\\\\4\times\frac{22}{7}r^2=\frac{11.000}{7}\\\\88r^2=11.000\\\\r^2=125\\\\r=\pm\sqrt{125}\\\\r=\pm5\sqrt{5}~~~~~~...pilih~yang~+\\\\r=5\sqrt{5}~m\\$