Mohon bantuannya kak :))

Berikut ini adalah pertanyaan dari FiorellaBellatrix pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$Nilai~dari~\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}~adalah~e^4.$

PEMBAHASAN

Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty}$ maka harus dilakukan manipulasi aljabar atau menggunakan aturan l'hospital. Dengan menggunakan aturan l'hospital, nilai limit fungsi dapat dicari dengan rumus :

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0$

DIKETAHUI

$\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}$

DITANYA

Tentukan nilai limit dari fungsi tersebut

PENYELESAIAN

Misal :

Karena substitusi langsung hasilnya $\frac{0}{0}$ maka gunakan l'hospital

$\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}=A\\\\ln[\lim_{x \to 0} (x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}]=lnA\\\\\lim_{x \to 0} ln(x+e^{\frac{x}{3}})^{\frac{3}{x}}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{3ln(x+e^{\frac{x}{3}})}{x}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[3ln(x+e^{\frac{x}{3}})]}{\frac{d}{dx}[x]}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3(1+\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}})}{(x+e^\frac{x}{3})}}{1}=lnA\\\\\lim_{x \to 0} \frac{3(1+\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}})}{x+e^\frac{x}{3}}=lnA\\$