1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1. integral parsial ∫x tan^-1 xdx 2. integral fungsi trigonometri ∫cot^2 wcsc^4 wdw

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1. integral parsial
∫x tan^-1 xdx
2. integral fungsi trigonometri
∫cot^2 wcsc^4 wdw

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1.~Hasil~dari~\int {xtan^{-1}x} \, dx~adalah~\frac{1}{2}x^2tan^{-1}x-\frac{1}{2}[x-tan^{-1}x]+C\\\\\2.~Hasil~dari~\int {cot^2w.cosec^4w} \, dw~adalah-\frac{1}{15}cot^3w(3cot^2w+5)+C

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

Sifat - sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut

\int {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C~~~~~,dengan~C=konstanta\\\\\int {kf(x)} \, dx=k\int {f(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)+g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx+\int {g(x)} \, dx\\\\\int {[f(x)-g(x)]} \, dx=\int {f(x)} \, dx-\int {g(x)} \, dx

Salah satu metode untuk menyelesaikan integral adalah metode integral parsial. Dimana :

\int {u} \, dv=uv-\int {v} \, du

.

SOAL 1

DIKETAHUI

\int {xtan^{-1}x} \, dx

.

DITANYA

Tentukan hasil integral tak tentu dari fungsi tersebut.

.

PENYELESAIAN

Kita gunakan metode integral parsial

Misal

u=tan^{-1}x~\to~du=\frac{1}{x^2+1}dx\\\\dv=xdx~~~~\to~v=\frac{1}{2}x^2\\\\maka\\\\\int {xtan^{-1}x} \, dx\\\\=tan^{-1}x(\frac{1}{2}x^2)-\int {\frac{1}{x^2+1}(\frac{1}{2}x^2)} \, dx\\\\=\frac{1}{2}x^2tan^{-1}x-\frac{1}{2}\int {\frac{x^2}{x^2+1}} \, dx\\\\=\frac{1}{2}x^2tan^{-1}x-\frac{1}{2}\int {[\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}]} \, dx\\\\=\frac{1}{2}x^2tan^{-1}x-\frac{1}{2}\int {[1-\frac{1}{x^2+1}]} \, dx\\\\=\frac{1}{2}x^2tan^{-1}x-\frac{1}{2}[x-tan^{-1}x]+C\\

=\frac{1}{2}[x^2tan^{-1}x-x+tan^{-1}x]+C\\\\=\frac{1}{2}[(x^2+1)tan^{-1}x-x]+C\\

=\frac{1}{2}[x^2tan^{-1}x-x+tan^{-1}x]+C\\\\=\frac{1}{2}[(x^2+1)tan^{-1}x-x]+C\\

.

KESIMPULAN

Hasil~dari~\int {xtan^{-1}x} \, dx~adalah~\frac{1}{2}[(x^2+1)tan^{-1}x-x]+C\\

.

.

.

SOAL 2

DIKETAHUI

\int {cot^2w.cosec^4w} \, dw

.

DITANYA

Tentukan hasil integral tak tentu dari fungsi tersebut.

.

PENYELESAIAN

Kita gunakan metode substitusi.

misal~w=cot^{-1}u~\to~dw=-\frac{1}{u^2+1}du\\\\\int {cot^2w.cosec^4w} \, dw\\\\=\int {cot^2w(cot^2w+1)^2} \, dw\\\\=\int {cot^2w(cot^4w+2cot^2w+1)} \, dw\\\\=\int {cot^6w+2cot^4w+cot^2w} \, dw\\\\=\int {[cot(cot^{-1}u)]^6+2[cot(cot^{-1}u)]^4+[cot(cot^{-1}u)]^2} \, (-\frac{1}{u^2+1}du)\\\\=\int {(u^6+2u^4+u^2)} \, (-\frac{1}{u^2+1})du\\\\=-\int {\frac{u^6+2u^4+u^2}{u^2+1}} \, du\\\\=-\int {\frac{u^2(u^4+2u^2+1)}{u^2+1}} \, du\\\\=-\int {\frac{u^2(u^2+1)^2}{u^2+1}} \, du\\

\\=-\int {u^2(u^2+1)} \, du\\\\=-\int {(u^4+u^2)} \, du\\\\=-(\frac{1}{5}u^5+\frac{1}{3}u^3)+C\\\\=-\frac{1}{15}u^3(3u^2+5)+C~~~~~~~...substitusi~kembali~u=cotw\\\\=-\frac{1}{15}cot^3w(3cot^2w+5)+C\\.

.

KESIMPULAN

Hasil~dari~\int {cot^2w.cosec^4w} \, dw~adalah-\frac{1}{15}cot^3w(3cot^2w+5)+C

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Integral trigonometri: yomemimo.com/tugas/29102615
  2. Integral parsial : yomemimo.com/tugas/28945863
  3. Integral fungsi : yomemimo.com/tugas/29299793

.

DETAIL JAWABAN

Mapel: Matematika

Kelas : 11

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, tak tentu, antiturunan, substitusi, trigonometri, parsial

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 13 Aug 20
<< Previous Post
Next Post >>