Mohon bantuannya ya kak

Berikut ini adalah pertanyaan dari FiorellaBellatrix pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$Dengan~menggunakan~uji~banding~langsung,~maka~\int\limits^{\infty}_1 {\frac{sin^2x}{x^2}} \, dx~bernilai~konvergen$

PEMBAHASAN

Salah satu metode untuk menentukan kekonvergenan dari suatu integral tak wajar adalah metode uji banding/comparison test.

Misalkan f(x) dan g(x) kontinu pada selang $[a,\infty]$ dan 0 ≤ f(x) ≤ g(x), maka :

$1.~\int\limits^{\infty}_a {f(x)} \, dx~konvergen,~jika~\int\limits^{\infty}_a {g(x)} \, dx~konvergen\\\\2.~\int\limits^{\infty}_a {f(x)} \, dx~divergen,~jika~\int\limits^{\infty}_a {g(x)} \, dx~divergen\\$

DIKETAHUI

$f(x)=\int\limits^{\infty}_1 {\frac{sin^2x}{x^2} } \, dx$

DITANYA

Tentukan kekonvergenan f(x)

PENYELESAIAN

Seperti kita ketahui nilai minimum dari $sin^2x$ adalah 0 dan nilai maksimumnya adalah 1 sehingga :

$\frac{0}{x^2}\leq \frac{sin^2x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}\\\\0\leq \frac{sin^2x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}$

Kita peroleh $g(x)=\frac{1}{x^2}$

Maka tinggal kita buktikan saja apakah g(x) konvergen atau divergen.

$\int\limits^{\infty}_1 {\frac{1}{x^2} } \, dx\\\\=\lim_{b \to \infty} \int\limits^b_1 {\frac{1}{x^2}} \, dx\\\\=\lim_{b \to \infty} \int\limits^b_1 {x^{-2}} \, dx\\\\=\lim_{b \to \infty} -x^{-1}|^b_1\\\\=\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{x}|^b_1\\\\=\lim_{b \to \infty} [-\frac{1}{b}-(-\frac{1}{1})]\\\\=\lim_{b \to \infty} [-\frac{1}{b}+1]\\\\=\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{b}+\lim_{b \to \infty} 1\\\\=0+1\\\\=1$