Tolong matematikanya kakak, terima kasih sebelumnya!

Berikut ini adalah pertanyaan dari cchocolatteaa pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Nilai dari } \: \frac{p}{q} \: \text{ adalah } \: 2 \: \: ( \bold{B}) \: \:. \\ \\$

Pembahasan

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep turunan fungsi trigonometri.

$\text{Turunan dinotasikan sebagai } \: \: \frac{dy}{dx} \: \: \text{ atau } \: \: f'(x) \: \:. \\ \\$

Definisi Turunan (Diferensial)

$\boxed{f'(x) \: = \lim \limits_{h \to 0} \: \frac{f(x + h) - f(x)}{h}} \\ \\$

Aturan Rantai pada Turunan

$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}} \\ \\$

Turunan Fungsi Trigonometri

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} ( \sin ax) & \: = a \cos ax \\ \\ \frac{d}{dx} ( \cos ax) \: & = -a \sin ax \\ \\ \end{aligned}$

Diketahui :

$\text{Turunan pertama dari } \: y = 6 \cos^3 (4x) \: \text{ adalah } \: y' = -36 \sin (px) \cos (qx) \: \:. \\ \\$

Ditanya :

$\text{Nilai dari } \: \frac{p}{q} \: \:. \\ \\$

Jawab :

Gunakan aturan rantai pada fungsi trigonometri.

$\text{Misal } \: y = 6u^{3} \: \: \Rightarrow \: \: \frac{dy}{du} = 18 u^{2} \\ \\ u = \cos v \: \: \Rightarrow \: \: \frac{du}{dv} = - \sin v \\ \\ v = 4x \: \: \Rightarrow \: \: \frac{dv}{dx} = 4 \\ \\$

$\begin{aligned} y & \: = 6 \cos^3 (4x) \\ \\ y' \: & = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \\ \\ y' \: & = \left(18 u^{2} \right) \cdot (- \sin v) \cdot (4) \\ \\ y' \: & = -72 \cdot u^{2} \cdot \sin v \\ \\ y' \: & = -72 \cdot \cos^{2} v \cdot \sin v \\ \\ y' \: & = -72 \cdot \cos^{2} (4x) \cdot \sin (4x) \\ \\ y' \: & = -72 \cos^{2} (4x) \: \sin (4x) \\ \\ y' \: & = -72 \cos (4x) \cos (4x) \sin (4x) \\ \\ y' \: & = -36 \cos (4x) \cdot (2 \cos (4x) \sin (4x)) \\ \\ y' \: & = -36 \cos (4x) \cdot \sin (8x) \\ \\ y' \: & = -36 \cos (4x) \: \sin (8x) \\ \\ y' \: & = -36 \sin (8x) \: \cos (4x) \\ \\ \end{aligned}$

Diperoleh hubungan sebagai berikut :

$y' \: = -36 \sin (8x) \: \cos (4x) \: \: \Leftrightarrow \: \: y' \: = -36 \sin (px) \: \cos (qx) \\ \\ px = 8x \: \: \Rightarrow \: \: p = 8 \\ \\ qx = 4x \: \: \Rightarrow \: \: q = 4 \\ \\$