1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Dengan subtitusi cos y=1/t,persamaan diferensial sin y dy - cos

Berikut ini adalah pertanyaan dari martinamanullang8 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dengan subtitusi cos y=1/t,persamaan diferensial sin y dy - cos y (1 - x cos y )dx=0 tereduksi ke persamaan linier….

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

y=\arccos\left[\frac{1}{x+Ae^x+1}\right]

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui nilai \cos y=\frac{1}{t}, sehingga kita dapatkan \sin y=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}.

Untuk menentukan nilai dari dy, kita bisa turunkan nilai dari cos y:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\cos y\right]=-\frac{1}{t^2}

-\sin y\: \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{t^2}

\sin y\: \mathrm{d}y=\frac{1}{t^2} \: \mathrm{d}t

\sqrt{t^2-1}\: \mathrm{d}y=\frac{1}{t} \:\mathrm{d}t

\mathrm{d}y=\frac{1}{t\sqrt{t^2-1} } \: \mathrm{d}t

Substitusikan ketiga nilai tersebut:

\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\cdot\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}}\: \mathrm{d}t-\frac{1}{t}\left(1-\frac{x}{t}\right)\mathrm{d}x=0

\frac{1}{t^2}\: \mathrm{d}t-\frac{1}{t}\left(1-\frac{x}{t}\right)\mathrm{d}x=0

\frac{1}{t^2}\: \mathrm{d}t=\frac{1}{t}\left(1-\frac{x}{t}\right) \mathrm{d}x

\frac{1}{t} \: \mathrm{d}t=\left(1-\frac{x}{t}\right) \mathrm{d}x

Samakan penyebut pada ruas kanan:

\frac{1}{t} \: \mathrm{d}t=\left(\frac{t}{t}-\frac{x}{t}\right) \mathrm{d}x

\mathrm{d}t=\left(t-x\right) \mathrm{d}x

\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=t-x

\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}-t=-x

Persamaan diferensial ini tidak bisa dipisah, sehingga kita harus terlebih dahulu mencari faktor integralnya. Sebuah persamaan diferensial

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+f(x)y=g(x)akan memiliki faktor integrale^{\int f(x) \mathrm{d}x}. Maka:

\mathrm{Faktor\: Integral}=e^{\int-1\: \mathrm{d}x}

\mathrm{Faktor\: Integral}=e^{-x}

Kalikan faktor integral tersebut terhadap dua ruas. Kita dapatkan:

e^{-x}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}-e^{-x}t=-e^{-x}x

Ruas kanan dapat kita sederhanakan menjadi:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[e^{-x}\cdot t\right]=-e^{-x}x

Kalikan dx pada kedua ruas:

\mathrm{d}\left[e^{-x}t]=-e^{-x}x\: \mathrm{d}x

Integralkan kedua ruas. Kita akan dapatkan:

e^{-x}t=\displaystyle\int -e^{-x}x\: \mathrm{d}x

Sekarang, kita akan fokuskan untuk integral pada ruas kanan.

Gunakan aturan integral parsial:

\displaystyle\int u\: \mathrm{d}v=uv-\displaystyle\int v\: \mathrm{d}u

dengan u sebagai x dan dv sebagai e^-x, kita dapatkan:

-\displaystyle\int e^{-x}x\: \mathrm{d}x=-\left[-e^{-x}x+\displaystyle\int e^{-x} \mathrm{d}x \right]

-\displaystyle\int e^{-x}x\: \mathrm{d}x=e^{-x}x+e^{-x}+C

Kita kembalikan pada persamaan sebelumnya:

e^{-x}t=-\displaystyle\int e^{-x}x\: \mathrm{d}x

e^{-x}t=e^{-x}x+e^{-x}+C

Kita bagikan e^-x ke kedua ruas sehingga:

t=x+1+\frac{C}{e^{-x}}

t=x+Ae^x+1

Perhatikan, karena \cos y=\frac{1}{t}, maka t=\sec y.

\sec y=x+Ae^x+1

Maka, solusi untuk persamaan diferensial tersebut adalah:

y=\arccos\left[\frac{1}{x+Ae^x+1}\right]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Tomaten dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 25 Jul 21
<< Previous Post
Next Post >>