Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² + 2x - 3) bersisa (3x - 4), jika dibagi (x² - x - 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah ....a. x^3 - x^2 - 2x - 1
b. x^3 + x^2 - 2x - 1
c. x^3 + x^2 + 2x + 3
d. x^3 + 2x^2 - x - 1
e. x^3 + 2x^2 + x + 1

Kelas          : XI
Mapel         : Matematika
Kategori     : Suku Banyak
Kata Kunci : berderajat, tiga, dibagi, bersisa, faktor, teorema, sisa, fungsi

Kode : 11.2.5 [Kelas 11 Matematika Bab 5 - Sukubanyak]
Pesan:
Untuk dapat menyimak lebih baik, dianjurkan membuka link pembahasan ini melalui PC/laptop. Terima kasih dan semangat belajar. 

Penyelesaian

Diminta untuk menentukan suku banyak berderajat tiga yang jika dibagi (x² + 2x - 3) bersisa (3x - 4), dan jika dibagi (x² - x - 2) bersisa (2x + 3).

Kita akan menggunakan teorema sisa dengan bentuk umum sebagai berikut:
f(x) = p(x).h(x) + s(x)
Keterangan
f(x) = fungsi suku banyak
p(x) = pembagi
h(x) = hasil bagi
s(x) = sisa pembagian

Dimisalkan suku banyak tersebut adalah f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

f(x) dibagi (x² + 2x - 3) bersisa (3x - 4)
f(x) = (x² + 2x - 3)h(x) + (3x - 4)
f(x) = (x + 3)(x - 1)h(x) + (3x - 4)
Untuk x = 1 ⇒ f(1) = (x + 3)(1 - 1)h(3) + 3(1) - 4
f(1) = -1
a + b + c + d = -1 ... [persamaan-1]
Untuk x = -3 ⇒ f(-3) = (-3 + 3)(-3 - 1)h(3) + 3(-3) - 4
f(-3) = -13
-27a + 9b - 3c + d = -13 ... [persamaan-2] 

f(x) dibagi (x² - x - 2) bersisa (2x + 3)
f(x) = (x² - x - 2)h(x) + (2x + 3)
f(x) = (x + 1)(x - 2)h(x) + (2x + 3)
Untuk x = 2 ⇒ f(2) = (2 + 1)(2 - 2)h(2) + 2(2) + 3
f(2) = 7
8a + 4b + 2c + d = 7 ... [persamaan-3]
Untuk x = -1 ⇒ f(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2)h(-1) + 2(-1) +3
f(-1) = 1
-a + b - c + d = 1 ... [persamaan-4]

Hasil eliminasi variabel d dari persamaan-1 dikurangi persamaan-2 adalah 
28a - 8b + 4c = 12 atau 7a - 2b + c = 3 ... [persamaan-5]
Hasil eliminasi variabel d dari persamaan-3 dikurangi persamaan-4 adalah
9a + 3b + 3c = 6 atau 3a + b + c = 2 ... [persamaan-6]
Hasil eliminasi variabel d dari persamaan-2 dikurangi persamaan-3 adalah
-35a + 5b - 5c = -20 atau -7a + b - c = -4 ... [persamaan-7]

Hasil eliminasi variabel c dari persamaan-5 dikurangi persamaan-6 adalah
4a - 3b = 1 ... [persamaan-8]
Hasil eliminasi variabel c dari persamaan-6 ditambah persamaan-7 adalah
-4a + 2b = -2 ... [persamaan-9]

Hasil eliminasi variabel a dari persamaan-8 ditambah persamaan-9 adalah
-b = -1 diperoleh nilai b = 1.

Substitusikan nilai b ke (pilih) persamaan-8, yaitu 4a - 3(1) = 1, diperoleh nilai a = 1. 

Substitusikan nilai a dan b ke (pilih) persamaan-5, yaitu 7(1) - 2(1) + c = 3, diperoleh nilai c = -2.

Terakhir, substitusikan nilai a, b, dan c ke (pilih) persamaan-1, yaitu 1 + 1 + (-2) + d = -1, diperoleh nilai d = -1

Koefisien-koefisien selengkapnya adalah,
a = 1;
b = 1;
c = -2;
d = -1.

Jadi, suku banyak berderajat tiga yang dimaksud adalah x³ + x² - 2x - 1.
Jawaban: B

-----------------------------
Alternatif Cara Kerja
Pengerjaan di atas berlaku untuk tipe soal essay, sedangkan ini adalah soal pilihan ganda. Di seluruh opsi sudah terlihat dengan jelas bahwa koefisien a adalah 1. Dengan demikian kita dapat mempersingkat pengerjaan dengan menyiapkan persamaan-persamaan sebagai berikut:
1 + b + c + d = -1 ⇒ b + c + d = -2 ... [persamaan-1]
-27 + 9b - 3c + d = -13 ⇒ 9b - 3c + d = 14 ... [persamaan-2] 
8 + 4b + 2c + d = 7 ⇒ 4b + 2c + d = -1 ... [persamaan-3]
-1 + b - c + d = 1 ⇒ b - c + d = 2 ... [persamaan-4]

Hasil eliminasi variabel d dari persamaan-2 dikurang persamaan-1 adalah
8b - 4c = 16 atau 2b - c = 4 ... [persamaan-5]
Hasil eliminasi variabel d dari persamaan-3 dikurang persamaan-4 adalah
3b + 3c = -3 atau b + c = -1 ... [persamaan-6]
Hasil eliminasi variabel c dari persamaan-5 ditambah persamaan-6 adalah 3b = 3, sehingga diperoleh nilai b = 1.
Substitusikan nilai b ke (pilih) persamaan-5, yaitu 2(1) - c = 4, diperoleh nilai c = -2. Terakhir, substitusikan nilai b dan c ke (pilih) persamaan-1, yaitu 1 + (-2) + d = -2, diperoleh nilai d = -1.
Koefisien-koefisiennya tetap sama seperti pengerjaan di atas, yakni:
a = 1;
b = 1;
c = -2;
d = -1.
Suku banyak berderajat tiga yang dimaksud adalah x³ + x² - 2x - 1.
Jawaban: B

___________________
Pelajari kasus suku banyak lainnya di sini
yomemimo.com/tugas/14267448