1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

QUIZ - INTEGRAL[tex]\displaystyle \int \frac{x \sin ^{-1} x}{ \sqrt{1 -x^2}}

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QUIZ - INTEGRAL\displaystyle \int \frac{x \sin ^{-1} x}{ \sqrt{1 -x^2}} \text{dx}
Tolong buktiin kok bisa
\cos ( \sin ^{-1} (x)) = \sqrt{1 -x^2}
(kepo)​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\displaystyle \int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \int \frac{\sin(\sin^{-1}(x))\sin^{-1}(x)}{\cos(\sin^{-1}(x))}\, dx\\\\\sin^{-1}(x) = t\\\\dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{\cos(\sin^{-1}(x))}\\\\\int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \int t\cdot \sin(t)\, dt\\\\\sin(t) = \text{Im}(e^{it}) => \int t\cdot \sin(t)\, dt = \text{Im}\left(\int t\cdot e^{it}\, dt\right)\\\\

\displaystyle \text{subtitusi : } it = v, \; t = \frac{1}{i}\; v = -iv, \; dt = -i \; dv, \; t\;dt = (-iv)(-i)\;dv = i^2 \; dv = -\; dv\displaystyle \int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = -\text{Im}\left(\int ve^v\; dv\right)\\\\\text{Turunan ke n dari \[ve^v\] adalah : } (v+n)e^v \text{ (bisa dibuktikan dengan menurunkan}\\\\\text{beberapa kali fungsi itu), jika n = -1 akan didapat integral nya}\\\\\text{(karena integral berlawanan dengan turunan) : }\\\\(ve^v)^{(-1)} = \int ve^v \; dv = (v-1)e^v\\\\\text{Maka : }\\\\\int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = -\text{Im}\left((v-1)e^v\right)\\\\

\displaystyle\int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = -\text{Im}\left((it-1)e^{it}\right)\\\\\text{Im}\left(z_1\cdot z_2\right) = \text{Im}\left((a_1 + ib_1)\cdot (a_2+ib_2)\right) \\\\ \text{Im}\left(z_1\cdot z_2\right) = \text{Im}\left(a_1a_2-b_1b_2 + i(a_1b_2 + a_2b_1)\right) \\\\ \text{Im}\left(z_1\cdot z_2\right) = a_1b_2 + a_2b_1 = \text{Re}(z_1)\text{Im}(z_2) + \text{Re}(z_2)\text{Im}(z_1)\\\\z_1 = it-1, \; z_2 = e^{it} = \cos(t) + i\sin(t)

\displaystyle \int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = -(-\sin(t) + t\cdot\cos(t))\\\\ \int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \sin(t) - t\cdot\cos(t)\\\\ \int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \sin(\sin^{-1}(x)) - \sin^{-1}(x)\cdot\cos(\sin^{-1}(x)) \\\\\int \frac{x\sin^{-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = x - \sin^{-1}(x)\cdot \sqrt{1-x^2} + K\\\\

sin(sin^-1(x)) = x

ini berlaku karena sifat fungsi dan fungsi invers (f(f^-1(x)) = x)

tapi kalau dilihat dari sudut pandang trigonometri, persamaan diatas memiliki arti yaitu sebuah segitiga siku siku dengan tinggi x, dan sisi miring (hipotenusa) sebesar 1

jadi misalnya β = sin^-1(x) => sin(β) = x = x/1 = tinggi/miring

maka nilai dari cos(sin^-1(x)) = cos(β) = √(1-x²)/1 = √(1-x²)

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 24 Jul 21
<< Previous Post
Next Post >>